Dirac im 3D - Dichte von Masse oder Ladung

25.07.2014, 21:56

Manko

Dirac im 3D - Dichte von Masse oder Ladung

ANgenommen wir befinden uns im R³ und arbeiteb mit kartesischen Koordinaten. Wenn ich eine Punktmasse beschreiben will und deren Massendichte muss ja das Volumsintegral über die Dichte stattfinden:
$\begin{eqnarray*} \int_V \rho dV \end{eqnarray*}$
Da aber rho in einem Punkt nicht aufintegriert werden kann da der Punkt unendlich klein ist, man aber trotzdem (aus irgendeinem Grund) dieses Integral berechnen möchte definiert man ausgehend von der gewollten Masse bzw Ladung des Punktes (zb Q = 4 C, m = 10g):

$\begin{eqnarray*} \rho=10g/m^3 \delta^3(\vec{r}) \Rightarrow m=\int_V \rho dV=\int \int \int_V \frac{10g}{m^3}\delta(x)\delta(y)\delta(z) dx dy dz=10g \end{eqnarray*}$

oder aber für eine Ladung:
$\begin{eqnarray*} \rho=4C/m^3 \delta^3(\vec{r}) \Rightarrow Q=\int_V \rho dV=\int \int \int_V \frac{4C}{m^3}\delta(x)\delta(y)\delta(z) dx dy dz=4C \end{eqnarray*}$
-------------------
Erste Frage: Habe ich eh alles richtig verstanden? Ist es der einzige Grund wieso man das macht? Weil ich sehe überhaupt keinen Grund dafür eine Ladungsdichte oder eine Massendichte für einen Punkt zu definieren. Denn was soll ich schon damit anstellen? Was anderes damit rechnen außer das was ich gezeigt habe gibts nicht!! Also wieso machen sich Physiker so einen Kopf wie man eine Ladungsdichte oder eine Massendichte für einen einzelnen Punkt definiert? Welchen Nutzen zieh ich daraus?

Zweite Frage: Was kann ich mir unter das V das beim Integral vorstellen? Ich kann ja keine Grenzen einsetzen sondern integriere einfach über das unendlich kleine Volumen.

Dritte Frage: Ist es eine Konvention UND NICHTS ANDERES, dass folgende Zeile gültig ist:
$\begin{eqnarray*} \delta(x)\delta(y)\delta(z)=\delta^3(\vec{r}) \end{eqnarray*}$
Weil delta(x) und deta(y) und delta(z) sind 3 Unterschiedliche Sachen. Wie kann ich sie dann einfach mit hoch 3 ausdrücken und einen Vektor ins Argument reinschreiben? Irgendwie ist mir diese Notation einfach nicht einleuchtend.
Ich möchte zum Beispiel ein Integral lösen, dass so ausschaut:

$\begin{eqnarray*} \int_{\text{gesamter Raum}}(|\vec{r}\;|^2+\vec{r}\cdot\vec{a}+|\vec{a}|^2) \delta(\vec{r}-\vec{a})d\tau=? \end{eqnarray*}$

Und da mir diese hoch 3 Notation nicht einsehlicher wird und ich in FOlge dessen überhaupt keine geometrische interpretation davon habe wieso da auf einmal Vektoren eine Rolle spielen, kann ich es auch nicht berechnen und bin auf eure Hilfe angewiesen..

Ich danke euch für jede Hilfe!!

25.07.2014, 22:14

Kugelgnom

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Die Deltafunktion brauchst du überall in der Physik. Z.B. in der Quantenmechanik wenn eine Wellenfunktion nach der Messung einen konkreten Wert animmt. Oder auch als Punktteilchen das sich im Raum bewegt. Was man sich unter der Delta Funktion vorstellen kann ich schon ein bisschen Schwierig, das ist eine verallgemeinerte Funktion und nennt sich Distribution. Die Notation mit dem delta hoch drei ist nur eine Kurznotation, genauso wie z.B. $\begin{eqnarray*} dxdydz = d^3 \end{eqnarray*}$ manchmal geschrieben wird. Mit deinen Problemen solltest du aber lieber ins Physik Forum schauen Augenzwinkern

Gruß

25.07.2014, 22:23

Kugelgnom

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Bei der Aufgabe am Ende kommt 3a^2 raus, nur zur Hilfe mal.

26.07.2014, 08:59

Huggy

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RE: Dirac im 3D - Dichte von Masse oder Ladung

Zitat:

Original von Manko
Erste Frage: Habe ich eh alles richtig verstanden? Ist es der einzige Grund wieso man das macht? Weil ich sehe überhaupt keinen Grund dafür eine Ladungsdichte oder eine Massendichte für einen Punkt zu definieren. Denn was soll ich schon damit anstellen? Was anderes damit rechnen außer das was ich gezeigt habe gibts nicht!! Also wieso machen sich Physiker so einen Kopf wie man eine Ladungsdichte oder eine Massendichte für einen einzelnen Punkt definiert? Welchen Nutzen zieh ich daraus?

Man zieht daraus großen Nutzen. Ein Nutzen ist, dass man mittels der Deltafunktion (welche keine Funktion ist) stetige Massen- und Ladungsverteilungen sowie punkt-, linien- und flächenförmige Verteilungen formal einheitlich mit einer Massendichte bzw. Ladungsdichte beschreiben kann. Man muss also nicht alle Gleichungen mehrfach für die diversen Fälle hinschreiben.

Wichtiger ist aber noch, dass man damit auch den Satz von Gauß und ähnliche Dinge in Fällen anwenden kann, bei denen das Vektorfeld Singularitäten enthält, wie z. B. das Gravitationsfeld einer Punktmasse (siehe dein anderer Thread). Mittels der Deltafunktion kann man die Divergenz des Feldes auch an der singulären Stelle bilden. Man kann z. B. herleiten:

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \frac {\vec r}{r^3}=4\pi \delta (\vec r) \end{eqnarray*}$

Dadurch vereinfacht sie viele Rechnungen gewaltig. Sie ist so eine Art Zaubertrank (den man mathematisch sauber definieren kann) der Physiker, den sie täglich 25 mal einnehmen, dazu noch bei Kopfweh, Halsschmerzen, schlechtem Wetter usw. Die Mathematiker verwenden sie auch, wenn auch seltener. Sie sprechen aber nicht von der Deltafunktion, sondern von der Deltadistribution, weil sie glauben, dass ihnen der Himmel auf den Kopf fällt, wenn man etwas Funktion nennt, was keine Funktion ist. Die Physiker sind da weniger abergläubisch.

Zitat:

Zweite Frage: Was kann ich mir unter das V das beim Integral vorstellen? Ich kann ja keine Grenzen einsetzen sondern integriere einfach über das unendlich kleine Volumen.

Nein. Man integriert immer über ein ganz konkretes Volumen, welches sich aus der Aufgabenstellung ergibt. Und es gilt eindimensional

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x) \delta (x-x_0)dx =f(x_0) \text { falls } x_0 \in (a, b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x) \delta (x-x_0)dx = 0 \text { falls } x_0 \notin [a, b] \end{eqnarray*}$

und mehrdimensional

$\begin{eqnarray*} \int\limits_V f(\vec r) \delta (\vec r-\vec r_0)dV =f(\vec r_0) \text { falls } \vec r_0 \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_V f(\vec r) \delta (\vec r-\vec r_0)dV = 0 \text { falls } \vec r_0 \notin V \end{eqnarray*}$

Mittels dieser Regeln solltes du das folgende problemlos berechnen können. Das Ergebnis wurde dir schon genannt.

$\begin{eqnarray*} \int_{\text{gesamter Raum}}(|\vec{r}\;|^2+\vec{r}\cdot\vec{a}+|\vec{a}|^2) \delta(\vec{r}-\vec{a})d\tau=? \end{eqnarray*}$

Es dürfte sich für dich lohnen, sich mal den Wikiartikel anzusehen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution

Schon in der Einleitung steht: Sie hat in der Mathematik und Physik grundlegende Bedeutung.

26.07.2014, 16:51

Manko

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Zitat:

Ein Nutzen ist, dass man mittels der Deltafunktion (welche keine Funktion ist) stetige Massen- und Ladungsverteilungen sowie punkt-, linien- und flächenförmige Verteilungen formal einheitlich mit einer Massendichte bzw. Ladungsdichte beschreiben kann.

Das kann ich aber auch indem ich eine Flächenladung definiere. Zb so: q = 5C / m. Das wär wohl eine Linienladungsdichte. Das geht auch für Flächenladungen. Für punkte gehts halt nicht so. Daher kommt der Dirakstoß um das mathematisch sauber hinschreiben zu können.

Zitat:

Man kann z. B. herleiten: $\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \frac {\vec r}{r^3}=4\pi \delta (\vec r) \end{eqnarray*}$

Meintest du eh:
$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \frac {\vec r}{r^3}=4\pi \delta^3 (\vec r) \end{eqnarray*}$

Außerdem ist Herleiten eher schlecht formuliert, denn ich denke (wenn ich das richtig verstehe) das muss man eher postulieren um die Singularität zu berücksichtigen.
Noch interessanter wäre aber für mich: Wenn ich mehrere Polstellen hätte, müsste ich doch theoretisch bei jeder Polstelle das irgendwie berücksichtigen. Das heißt ich müsste mir bei jedem Volumen wo ich den Gaußschen Satz anwende zu ALLER ERST überlegen ob das beinhaltete Volumen auch Singularitäten beinhaltet. Denn wenn ja und diese durch das Integral oder aber auch der Bildung der Divergenz in irgend einer weise ausgeblendet werden, dann wird mein Gaußscher Satz DANN UND NUR DANN einen Widerspruch liefern, wenn das zugehörige Flächenintegral des Gaußschen Satzes keine Polstellen an der Fläche integriert hat und irgendwie ausgeblendet hat (weiß aber noch nicht ob das durch integrieren einfach so geht, dass da polstellen verschwinden).
Aber das wär ja sehr schlimm.

Zitat:

Dadurch vereinfacht sie viele Rechnungen gewaltig.

Aber wieso sollte sie?

Zitat:

Mittels dieser Regeln solltes du das folgende problemlos berechnen können. Das Ergebnis wurde dir schon genannt.

Habe mich heut sehr angestrengt und 10 solcher Integrale gelöst. Fast alle waren richtig. Bei einem hatte ich mir nicht überlegt, wo das Volumen ist und demnach hätte das Integral gar nicht existiert.
Aber ich denke so im großen und ganzen hab ich jetzt die Mechanik drauf.

Ich möchte aber nochmal zusammenfassen und euch bitten mich richtigzustellen falls ich falschliege.
Mit dem delta im R³ kann ich eine beliebige Stell im Raum einen unendlich hohen Wert zuweisen, sodass wenn ich in der Umgebung dieser Stelle integriere, ich 1 erhalte. Also eig genau wie im 1-dim.
--------------
Bei dem Feld 1/r² kann man die Divergenz bilden, jedoch ist sie für alle r Null außer für r = 0 persönlich. Jedoch ist r = 0 im Volumen beinhaltet. Es wird aber dadurch ausgeblendet, da wir vorher schon die Divergenz gebildet haben wobei die Divergenz für r = 0 gar nicht definiert ist.
Durch anwenden des Haußschen Satzes haben wir festgestellt, dass das Integral eigentlich nicht 0 sein darf sondern 4 pi. Dadurch haben herausgefunden, dass folgende Beziehung gelten muss:

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \frac {\vec r}{r^3}=4\pi \delta^3 (\vec r) \end{eqnarray*}$

damit auch wirklich 4pi herauskommt.
Wir haben SOZUSAGEN den Divergenzwert an der Stelle r = 0 "herausgekitzelt" indem wir die rechte Seite des Gaußschen Satzes zu 4pi berechnet haben und daraus gefolgert haben, dass eben die genannte Beziehun gilt.

JETZT ABER ZUR GROßEN FRAGE: Kann ich das bei jeder Singularität machen, die ausgeblendet wird? Und ich meine einfach einen 3D Deltaimpuls hineinmachen?
Weil meiner Meinung nach muss man wieder durch andere Methode den Wert der Divergenz an der Singuläritätsstelle "herauskitzeln" um wirklich zu wissen was beim Integral(0/unendlich) herauskommt.

DANKE für jede Hilfe!! Ihr habt mir sooo viel geholfen und ich bin von der Materie eigentlich fasziniert!!

26.07.2014, 19:52

Huggy

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Zitat:

Original von Manko

Zitat:

Selbstverständlich kannst du auch für Punktladungen auf die Deltafunktion verzichten. Da steht dann halt einfach eine Ladung, z. B. 5 C.

Zitat:

Man kann z. B. herleiten: $\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \frac {\vec r}{r^3}=4\pi \delta (\vec r) \end{eqnarray*}$

Es gibt keine Normung der Schreibweise der Deltafunktion. Ich schreibe wie viele einfach $\begin{eqnarray*} \delta(...) \end{eqnarray*}$ . Die Dimension der Deltafunktion ergibt sich dabei aus dem Argument ...
Nein, meiner Erinnerung nach kann man das wirklich herleiten. Der Ablauf ist ungefähr so: Man definiert zunächst allgemein Distributionen bzw. eine bestimmte Klasse von Distributionen. Für diese Distributionen kann man eine Distributionsableitung definieren und tut das auch. Unter die Distributionsdefinition fallen auch ganz gewöhnliche Funktionen wie die Funktion in obigem Beispiel. Damit ist für diese Funktionen auch die Distributionsableitung definiert. Für Stellen, an denen die Funktion nicht divergiert, stimmt die Distributionsableitung mit der gewöhnlichen Ableitung überein. Aus der Distributionsdefinition und der Definition der Distributionsableitung konnte man dann Beziehungen wie die obige herleiten, wobei die konkrete Durchführung oft technisch länglich war.

Zitat:

Dadurch vereinfacht sie viele Rechnungen gewaltig.

Aber wieso sollte sie?

Probier es aus. Verzichte konsequent auf die Deltafunktion.

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