geschlossenen Weg erkennen

26.07.2014, 00:13

Mathelover

geschlossenen Weg erkennen

Hey Freunde,

ich habe eine Frage bezüglich des geschlossenen Weges in der Funktionentheorie.

Wie erkenne ich denn ob ein Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ geschlossen ist? Wie rechnet man das nach?

Ich frage deshalb, weil es sich öfters anbietet mit dem Cauchyschen Integralsatz dann bei einem geschlossenen Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ zu folgern, dass ein Integral

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{\gamma} f(z) dz = 0 \end{eqnarray*}$

Ansonsten muss man ja mit der Cauchyschen Integralformel rechnen.

Ich hoffe, ihr könnt mir ein paar Tipps geben. Wink

26.07.2014, 00:31

Bernhard1

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Zitat:

Original von Mathelover
Wie erkenne ich denn ob ein Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ geschlossen ist?

Wenn man den Weg tatsächlich nur als Formel gegeben hat, würde ich ihn einfach zeichnen.

EDIT: oder prüfen, ob ein oder mehrere Punkte entlang der Parametrisierung mehrfach durchlaufen werden.

26.07.2014, 00:40

Guppi12

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Hallo,

Man nennt einen Weg geschlossen, wenn der Anfangspunkt gleich dem Endpunkt ist. Du musst also bei einem Weg $\begin{eqnarray*} \gamma:[a,b]\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ einfach nur nachrechnen, ob $\begin{eqnarray*} \gamma(a) = \gamma(b) \end{eqnarray*}$ .

26.07.2014, 00:52

Mathelover

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Danke für die Antworten.

Gruppi12 bei vielen Aufgaben ist der Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ nicht angegeben. In der Lösung wird dann immer ein Weg $\begin{eqnarray*} \gamma : [0,2\pi] -> C \end{eqnarray*}$ definiert. Woher kommen die Werte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ?

26.07.2014, 00:59

Guppi12

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Kannst du bitte mal ein Beispiel geben? Ich kann mir das gerade schwer vorstellen.

26.07.2014, 01:13

Mathelover

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Bestimmen Sie jeweils (möglichst einfach) den Wert des Integrals:

Gegeben ist folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{ | z-3i|=1} \frac{e^{z^2+z}}{z} dz \end{eqnarray*}$

Lösung:

Zu berechnen ist $\begin{eqnarray*} \int_{ | z-3i|=1} \frac{e^{z^2+z}}{z} dz \end{eqnarray*}$ . Dazu bemerken wir, dass duch $\begin{eqnarray*} z \mapsto \frac{e^{z^2+z}}{z} \end{eqnarray*}$ eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f: U_{2}(3i) -> C \end{eqnarray*}$ (wie sie auf das U kommen, würde ich auch gerne mal wissen), denn $\begin{eqnarray*} 0 \notin U_{2}(3i) =: G \end{eqnarray*}$ , und es gilt $\begin{eqnarray*} U_{1} \subseteq G \end{eqnarray*}$ , also verläuft der geschlossene Weg $\begin{eqnarray*} \gamma : [0,2\pi] -> C, t \mapsto 3i + e^{it} \end{eqnarray*}$ ganz in G, und mit dem Cauchyschen Integralsatz folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{ | z-3i|=1} \frac{e^{z^2+z}}{z} dz= \int_{\gamma} f(z) dz = 0 \end{eqnarray*}$

Wo kommt denn jetzt der Weg her?

26.07.2014, 01:19

Guppi12

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Unten an dem Integral steht ja dran $\begin{eqnarray*} |z-3i|=1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Menge $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C~\vert~ |z-3i| = 1\} \end{eqnarray*}$ gemeint. Das wiederum ist der Kreis um $\begin{eqnarray*} 3i \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Der Weg, der dann gewählt wird, ist die Standardparametrisierung eines Kreises um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} \gamma:[0,2\pi]\to\mathbb C, t\mapsto z_0+Re^{it} \end{eqnarray*}$ .

Dass ein Kreis nun geschlossen ist, sollte denke ich klar sein, ansonsten kannst du aber nach dem Parametrisieren auch nachrechnen, dass $\begin{eqnarray*} \gamma(0) = \gamma(2\pi) \end{eqnarray*}$ .

26.07.2014, 01:24

Bernhard1

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Zitat:

Original von Mathelover
$\begin{eqnarray*} \gamma : [0,2\pi] -> C, t \mapsto 3i + e^{it} \end{eqnarray*}$

Das ist der Weg und in diesem Fall, wie Guppi bereits angemerkt hat, ein Kreis. Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei 3i und der Radius ist gleich eins. Überlege dir selbst, welche Punkte dann mit $\begin{eqnarray*} t \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ erreicht werden.

26.07.2014, 01:27

Mathelover

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Ahh, das klärt einige Fragen, danke dir vielmals.

Dann habe ich aber eine provokante Frage. Wieso haben wir dann nicht bei der Aufgabe davor, als wir die Cauchysche Integrationsformel verwendet haben, nicht einfach gesagt, dass der Weg abgeschlossen ist, zur Erinnerung: der Weg war folgendermaßen parametrisiert:

$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = 2e^{it} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$

Und dann mit dem Cauchyschen Integrationssatz gefolgert, dass
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{1}{(z-1)^2(z-3)}dz = 0 \end{eqnarray*}$
?

Der Integrand ist ja holomorph.

26.07.2014, 01:29

Guppi12

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Zitat:

Der Integrand ist ja holomorph.

Wo genau muss denn der Integrand holomorph sein, um den Satz anwenden zu können und ist er dies dort tatsächlich überall?

26.07.2014, 01:32

Mathelover

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Er muss überall holomorph sein, insbesondere auf $\begin{eqnarray*} D \subseteq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

26.07.2014, 01:32

Guppi12

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Und was ist hier $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ?

26.07.2014, 01:34

Mathelover

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Das steht leider nicht dabei, hmmm.

26.07.2014, 01:36

Guppi12

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Gib doch mal bitte die exakte Formulierung eures Cauchyintegralsatzes wieder.

Ich weiß ja auch nicht, welche Variante ihr zur Zeit benutzt. (Der kommt pro Vorlesung auch 3 mal neu Augenzwinkern

)

26.07.2014, 01:44

Guppi12

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Ich möchte jetzt schlafen, deswegen sage ich dir mal was los ist:

Der Integrand müsste auf einem Gebiet holomorph sein, in dem der Abschluss des Kreises um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Das liegt daran, dass wir über diesen Kreis integrieren.

Der Integrand ist dort aber nicht holomorph (da nichtmal definiert in 1).

Vielleicht kannst du dir das anhand eurer Formulierung selbst nochmal klar machen.
Ansonsten schaue ich morgen wieder rein oder jemand anderes hilft dir inzwischen weiter.

Gute Nacht.

26.07.2014, 02:08

Mathelover

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Okay vielen Dank Freude

26.07.2014, 02:14

Mathelover

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Zitat:

Original von Guppi12
Und was ist hier $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ?

Habs rausgefunden, D ist ein Sterngebiet.

26.07.2014, 04:44

Mathelover

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Nehmen wir mal an, es bietet sich der Cauchysche Integealsatz an um sofort 0 zu folgern. Aber ich seh das nicht direkt und geh den Weg über die Cauchysche Integralformel. Müsste denn auch nicht 0 rauskommen? Ich würde sagen ja, müsste es.

26.07.2014, 07:17

Bernhard1

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Zitat:

Original von Mathelover
der Weg war folgendermaßen parametrisiert:

$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = 2e^{it} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$

Und dann mit dem Cauchyschen Integrationssatz gefolgert, dass
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{1}{(z-1)^2(z-3)}dz = 0 \end{eqnarray*}$
?

Hallo Mathelover,

schau Dir das Nachbarthema nochmal in Ruhe und ausgeschlafen an. Dort hattest Du das Ergebnis des Integrals zu -i * pi / 2 korrekt ausgerechnet. Der Integrationsweg ist ein Kreis mit Radius 2 und dem Mittelpunkt genau im Ursprung des Koordinatensystems. Damit f innerhalb dieses Kreises holomorph ist muss man f genau so wählen, wie Du das bei der Rechnung gemacht hast, d.h.

$\begin{eqnarray*} f(\zeta) = \frac{1}{\zeta - 3} \end{eqnarray*}$

Der Integrationsweg gibt hier sozusagen genau die passende Cauchy-Formel vor.

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