Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix berechnen

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26.07.2014, 08:41	jussimon91	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix berechnen Hallo, Aufgabe ist folgende: Bestimmen sie die Eigenwerte und Eigenräume der folgenden Matrix $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 & 3 & 1\\ <br /> 1 & 3 & -2\\ <br /> 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Meine Idee zum Lösen wäre die gewesen, zunächst das charakteristische Polynom zu bilden, davon dann die Determinante zu errechnen. Ich hoffe das ist soweit korrekt. Allerdings kommt ich dann bei der Determinante auf keine gescheite Lösung, vlt. hab ich ja irgendwo einen Vorzeichenfehler beim Berechnen der det, oder aber ich bin mit meiner Idee komplett auf dem Holzweg. //EDIT: Ich habe gemerkt, dass ich die SarrusRegel einfach falsch benutzt habe :s Ich rechne nochmal nach und melde mich dann wieder Mein Vorgehen als angehängtes Bild
26.07.2014, 09:11	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Als nächstes klammerst Du $\begin{eqnarray} (2-\lambda) \end{eqnarray}$ aus und rechnest den Rest aus. Sollte die erste Matrix die richtige sein, dann klammerst Du stattdessen $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ aus.
26.07.2014, 09:27	jussimon91	Auf diesen Beitrag antworten »
Die untere Matrix ist die richtige, also die beim Handgeschriebenen, oben wars ein Tippfehler, sry dafür. Wieso würde ich jetzt genau die $\begin{eqnarray} 2-\lambda \end{eqnarray}$ ausklammern? Ist das mutwillig oder gibts dafür einen Grund, genau diesen Wert auszuklammern? lg
26.07.2014, 09:44	jussimon91	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie hat die Antworten Funktion eben ein wenig gesponnen, hier nochmal der komplette Antwortbeitrag: Term ist nun soweit wie möglich vereinfacht. Ich nehme an nun muss ich die Nullstellen für das entstandene Polynom berechnen, und das sind dann die Eigenwerte? lg
26.07.2014, 10:35	jussimon91	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, ich hab nunmal versucht die Eigenwerte auf eigene Faust zu errechnen Dabei rum kam die Rechnung im angehängten Bild. Sind die Ergebnisse korrekt?
26.07.2014, 11:26	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Eigenwerte stimmen, allerdings bist Du von Köln nach Düsseldorf über München und Istanbul gefahren Das Ausklammern hat den Sinn, die Rechnung zu vereinfachen: $\begin{eqnarray} (2-\lambda)(-4\lambda+\lambda^2)=(2-\lambda)\lambda(-4+\lambda) \end{eqnarray}$ Bei der Nullstellensuche ist die Produktform immer am idealsten, weil man damit nicht groß rechnen oder gar raten muss, solange die Faktoren alle einen grad kleiner als drei haben. Ein Produkt ist ja genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
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26.07.2014, 11:38	jussimon91	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das ist jetzt schon irgendwie erschütternd... da rechne ich mir die Finger wund, nur damit ich die Eigenwerte eigentlich schon nach einer kurzen Umformung ablesen könnte Naja, Übung kann wohl nie schaden Gibts nun um auf die Eigenvektoren/-räume zu kommen einen ebenso einfachen Weg? Das was ich so im Netz dazu gefunden habe will mir nicht so ganz einleuchten.
26.07.2014, 11:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du ein GLS lösen kannst, kannst Du auch Eigenvektoren bestimmen. Du setzt in die Matrix $\begin{eqnarray} A-\lambda E \end{eqnarray}$ jeweils den zu betrachtenden Eigenwert ein und bestimmst den kern der dabei entstehenden Matrix. Da sie in deinem Fall den rang zwei hat, sollte das keine Probleme bereiten.
27.07.2014, 09:08	jussimon91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich mal noch zur Erprobung an eine zweite Aufgabe gesetzt, zur Bestimmung der Eigenwerte. Ich glaube ich habe mich irgendwo verrechnet, meine Lösung scheint nämlich nicht zu stimmen. Weiß jemand, wo ich mich verrechnet habe bzw. etwas falsch gemacht habe?
27.07.2014, 11:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du klammerst abenteuerlich aus: Weder die 12, noch $\begin{eqnarray} (-3-\lambda) \end{eqnarray}$ enthält den Faktor $\begin{eqnarray} 1-\lambda \end{eqnarray}$ . Erst wenn du das zusammenrechnest klappt es.

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