Integral mit Umlaufzahl

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Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Umlaufzahl
Hey Freunde,

ich habe bei folgender Aufgabe nicht verstanden, wieso bei der Berechnung des Integrals die Umlaufzahl miteinbezogen wird.

Berechnen Sie das Integral:




für mit

Lösung:
Die Funktion ist ganz, der Weg geschlossen und wegen und der Tatsache, dass der Kreis zwei Mal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Nach der Cauchyschen Integralformel gilt nun:



Meine Frage, woher kommt die Umlaufzahl jetzt in die Cauchysche Integralformel.
Ich hätte die Umlaufzahl weggelassen und hätte aber dadurch ein anderes Ergebnis...
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
Ich hätte die Umlaufzahl weggelassen und hätte aber dadurch ein anderes Ergebnis...

Bei der Cauchy-Formel, die du meinst, wird der Kreis nur einmal durchlaufen.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Woran sehe ich das denn, wie oft der Kreis durchlaufen wird?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
mit

hat bekanntlich die Periode . Wenn t von 0 bis läuft, wird der Kreis also zweimal durchlaufen. Kennst Du nicht den Graphen von verwirrt
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
falls telefonmann gerade nicht da ist, übernehme ich kurz: Augenzwinkern
Das sieht man daran, das t hier von 0 bis 4pi läuft. Von 0 bis 2pi wäre ein
vollkreis, von 0 bis 4pi 2 vollkreise, von 0 bis 6pi 3 vollkreise usw...
gruss ollie3
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, ich muss immer auf das Intervall von meinem Weg achten und dann eben die Umlaufzahl mit in meiner Cauchyschen Integralformel einbeziehen?
 
 
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
Das heißt, ich muss immer auf das Intervall von meinem Weg achten und dann eben die Umlaufzahl mit in meiner Cauchyschen Integralformel einbeziehen?

Solange die Funktion im Kreisinneren holomorph ist, würde ich sagen ja.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Wie erkenne ich mit einem Blick, ob meine Funktion im Kreisinneren holomorph ist.
Kann ich damit argumentieren, dass ich keine einzige isolierte Singularität finden kann?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
Wie erkenne ich mit einem Blick, ob meine Funktion im Kreisinneren holomorph ist.

Da gibt es doch entsprechende Sätze, die man eben lernen muss. Bei Polynomen hat man aber schon mal gute Karten. Da muss man dann nur noch nachsehen, wann sie gleich Null werden, falls sie im Nenner stehen.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Fall wäre der Nenner gleich , wenn . Wie würde ich argumentieren, sodass die Funktion innerhalb des Kreises homolorph ist?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
Wie würde ich argumentieren, sodass die Funktion innerhalb des Kreises homolorph ist?

Die Funktion ist das f in der Cauchy-Formel und bereits laut Aufgabenstellung ganz, also in ganz C holomorph: http://de.wikipedia.org/wiki/Ganze_Funktion.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir vielmals Telefonmann1 Freude
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Dito Wink .
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