Verrunden zweier Kreisbögen

26.07.2014, 18:58	DKDK	Auf diesen Beitrag antworten »
Verrunden zweier Kreisbögen Hallo liebe Mathematikfreunde, ich hänge nun schon eine Weile an dem folgenden Problem und bin nun doch mit meinem Latein am Ende. Ich würde gerne zwei bekannte Kreisbögen, die sich in einem bereits bekannten Punkt schneiden miteinander verrunden. Im folgenden Bild ist die gewünschte Struktur dargestellt. Im folgenden sind die zwei Kreisbögen mit den Indizees 1 und 2 bezeichnet und die Verrundung mit dem Indizee 3. [attach]34983[/attach] Bekannt sind sämtliche Daten zu den zwei Kreisbögen 1 und 2. Zu der Verrundung ist lediglich der Radius, sowie der tangentiale Übergang zu des zwei Kreisbögen vorgegeben. Bestimmt werden muss demnach: Die Position der zwei Übergänge von Verrundungsradius zu den Kreisbögen, sowie die Position des Verrundungsmittelpunkts. Es soll die allgemeine Lösung ermittelt werden, sodass nur mit Variablen gerechnet wird. Versucht hatte ich es bisher folgendermaßen: Ausgegangen bin ich von den Steigungen an den Punkten 1 und 2. Dabei habe ich jeweils die allgemeine Steigung der angrenzenden Kurven aufgestellt und diese gleichgesetzt. Damit erhalte ich die ersten 2 Gleichungen: $\begin{eqnarray} y1(xm3-xm1)+x1(ym1-ym3)=ym1xm3-ym3xm1<br /> y2(xm3-xm2)+x2(ym2-ym3)=ym2xm3-ym3xm2 \end{eqnarray}$ Zu meiner Nomenklatur: Es ist beispielhaft y1 der y-Wert an Punkt 1, sowie xm3 der x-Wert des Mittelpunkts des 3. Kreises (also der Verrundung). Die restlichen Gleichungen sind die Kreisgleichungen an den Punkten 1 und 2. $\begin{eqnarray} r1^2=(x1-xm1)^2+(y1-ym1)^2<br /> r2^2=(x2-xm2)^2+(y2-ym2)^2<br /> r3^2=(x1-xm3)^2+(y1-ym3)^2<br /> r3^2=(x2-xm1)^2+(y2-ym1)^2 \end{eqnarray}$ r2 ist der Radius des 2. Kreisbogens. Nun habe ich 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten. Es ist allerdings schwierig die Kreisgleichungen nach einer Variable aufzulösen, da durch die Binomische Formeln die Variablen quadratisch und linear auftauchen. Ich hatte versucht dies mit einer Chordale zu lösen. Bin letztlich jedoch gescheitert. Gibt es für dieses Problem ggf geschicktere Ansätze oder eine andere Lösungsmöglichkeit? Ich bin für jede Hilfe dankbar LG DKDK
27.07.2014, 15:38	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verrunden zweier Kreisbögen Vorab: In deine letzte Gleichung gehört $\begin{eqnarray} x_{m3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_{m3} \end{eqnarray}$ . Wenn sich 2 Kreise berühren, dann liegen der Berührpunkt und die beiden Mittelpunkte auf eine Geraden. Im folgenden nehme ich an, dass der Kreis $\begin{eqnarray} K_3 \end{eqnarray}$ die Kreise $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ von innen berührt. Zur Vereinfachung kann man den Mittelpunkt von $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ in den Koordinatenursprung legen. Es ist dann $\begin{eqnarray} x_{m1}=y_{m1}=0 \end{eqnarray}$ . Das führt auf folgendes Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} r_2-r_3=\sqrt {(x_{m3}-x_{m2})^2+(y_{m3}-y_{m2})^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1-r_3=\sqrt {x_{m3}^2+y_{m3}^2} \end{eqnarray}$ Das kann man leicht lösen. Beide Gleichungen quadrieren und dann die 2. von der 1. Gleichung abziehen. Es fallen die quadratischen Terme weg und man bekommt eine lineare Beziehung zwischen den Mittelpunktskoordinaten von $\begin{eqnarray} K_3 \end{eqnarray}$ . Die setzt man in die 2. Gleichung ein und hat dann eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray} x_{m3} \end{eqnarray}$ oder für $\begin{eqnarray} y_{m3} \end{eqnarray}$ , die man löst. Aus der linearen Beziehung folgt dann die 2. Koordinate. Man bekommt 2 Lösungen, von denen man die zum Problem gehörende aussucht. Danach ist es nicht schwer, auch die Berührpunkte auszurechnen.
27.07.2014, 19:52	DKDK	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe Huggy! Dein Lösungsweg hat wunderbar funktioniert!

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