Flächenschwerpunkt berechnen

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Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenschwerpunkt berechnen
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe Schwierigkeiten mit der Berechnung eines Flächenschwerpunktes:
Folgende Gleichung ist gegeben:



Zunächst sollte die Gleichung in kartesische Koordinaten dargestellt werden, soweit war ich schon.



Meine Ideen:
Zur Berechnung des Flächenschwerpunktes habe ich folgende Formeln gefunden:





Die Fläche hatte ich zuvor schon berechnet mit

Um die Formel zu benutzen, muss ich die Gleichung einmal nach x und einmal nach y auflösen:





Diese würde ich nun in die Formel einsetzen.
Ist das soweit korrekt?

Falls ja, irritiert mich das dA.



Muss man das jetzt einfach ableiten? Ich verstehe es irgendwie nicht so recht.

Kann mir jemand helfen?

Danke und Gruß
Duinne
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Duinne,

um die angegebenen Formeln für den Schwerpunkt (die sehen vernünftig aus) zu benutzen, musst Du zuerst die Funktionen x(A) und y(A) ausrechnen und das benötigt einige Vorarbeit:

1) Wie sieht die Funktion aus? -> So eine Art Kleeblatt
2) Wo liegt x_min und x_max? Welchen Bereich überstreichen x und y, wenn man den Funktionsgraphen entlang läuft? y_max ist trivialerweise gleich null und y_min = -2. Ob das Kleeblatt nun nach unten oder oben hängt ist dabei egal. Es ist am Ende nur das Vorzeichen von y_S. Ferner gilt x_min = -x_max (Achsensymmetrie bezüglich y-Achse)
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenschwerpunkt berechnen
Danke für deine schnelle Antwort!

1) Wieso ist das ein Kleeblatt? ist doch ein Kreis.

2) Warum benötige ich das Maximun und Minmum von x und y?
letmathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Zitat:

Zur Berechnung des Flächenschwerpunktes habe ich folgende Formeln gefunden:
[...]








Diese würde ich nun in die Formel einsetzen.
Ist das soweit korrekt?

Falls ja, irritiert mich das dA.





Zitat:
von Telefonmann1
Hallo Duinne,

um die angegebenen Formeln für den Schwerpunkt (die sehen vernünftig aus) zu benutzen, musst Du zuerst die Funktionen x(A) und y(A) ausrechnen


Hallo ihr,

ist das mit x(A) und y(A) denn so einfach?
Kann/sollte Duinne nicht erstmal einen Ausdruck für ein Flächenelement dA finden?
Ein Ausdruck, der sowas wie dx und dy anstatt dA enthält und der vielleicht da zu suchen ist, wo auch die Formeln
usw. gefunden wurden?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Zitat:
Original von Duinne
Danke für deine schnelle Antwort!

1) Wieso ist das ein Kleeblatt? ist doch ein Kreis.

Ein Kreis mit Radius r wäre r² = x² + y². Du hast aber da selbst etwas anderes ausgerechnet. Schau Dir vielleicht besser die ursprüngliche Form in Polarkoordinaten an. Die startet bei phi = 180° bis phi = 360° damit der Radius positiv ist. Der Radius startet dann bei 0 geht bis r=2 und geht dann wieder zurück auf 0. Der Graph startet also im Ursprung, bildet dann eine Schlaufe mit maximaler Entfernung 2 und kehrt dann zum Ursprung zurück.

Zitat:
2) Warum benötige ich das Maximun und Minmum von x und y?

Berechnungsverfahren gemäß: http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrisch...t_einer_Parabel
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von letmathe
ist das mit x(A) und y(A) denn so einfach?

Ja, das war zu kurz gedacht. Der Link auf die Wikipedia gibt ein besseres Berechnungsverfahren.

EDIT: Bin für heute weg. "Kobra übernehmen Sie".
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
ohne auf den Rest eingehen zu wollen

auch das ist ein Kreis Augenzwinkern
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Zitat:
Original von riwe
auch das ist ein Kreis Augenzwinkern

Womit die Aufgabe dann wohl gelöst und der Sonntagnachmittag gerettet wäre Big Laugh Gott .
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Puuhh, das ist für mich kaum verständlich.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die ursprüngliche Gleichung betrachten sollte. Die Aufgabe lautete ja, die ursprüngliche Gleichung in kartesische Koordinaten darzustellen und dann den Flächenschwerpunkt zu brechnen. Das Problem ist auch, dass ich weder an der einen Gleichung noch an der anderen sehen kann, wie der Graph aussieht. Gibt es einen anderen Weg, sich zu überlegen, wie der Graph aussieht?

Können wir hier noch einmal von vorne anfangen? Ich benötige Max und Min von x und y.
Wie komme ich da hin?

Zitat:
y_max ist trivialerweise gleich null und y_min = -2

So trivial ist das für mich nicht. Also, einfach ablesen oder kann es berechnet werden?
Zitat:
Bei der benötigten Umkehrfunktion x(A) gilt dann notwendigerweise x(0) = x_min und x(pi) = x_max.

x(0) weil der Graph im Ursprung beginnt. Woher weißt du das? Weil du an der Gleichung siehst, was es für ein Graph ist?
x(pi) ist dann wahrscheinlich das Ende der "Periode" und damit max.

Wenn es übrigens einfacher ist, für dA einen anderen Ausdruck zu finden, können wir auch gerne diesen Weg gehen. Prinzipiell muss ich es aber nur verstehen, also wie ihr wollt.

Grüße
Duinne
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
wobei eventuell die Bosheit bleibt

Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Ist dA= dx*dy?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Telefonmann1
Achsensymmetrie bezüglich y-Achse

Ein sicheres Indiz für x_S = 0 smile .
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Zitat:
Original von Duinne
Ist dA= dx*dy?

Ja.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Wenn ich das auf Wikipedia richtig verstanden habe, ergibt sich aus



demnach



Sollte ich fragen warum?

Also, dass A=x*y ist kann ich noch nachvollziehen, sofern man das so einfach sagen kann. Warum ich allerdings mit einer negativen Fläche multiplizieren muss, ist mir nicht klar.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Duinne,

die Aufgabe besteht gemäß Beschreibung und meiner Meinung nach lediglich in der Visualisierung des Graphen der Funktion und das hat Werner freundlicherweise gemacht. Ausgehend davon sieht man, dass sich die Funktion auch als

x² + (y+1)² = 1

schreiben läßt und das ist ein Kreis mir Radius 1 und Mittelpunkt bei (0,-1).

Du kannst das Ergebnis allerdings auch per Integral nachrechnen:



Die vertauschten Integrationsgrenzen im inneren Integral nimmt man, weil die Integration einer Funktion mit y(x) < 0 negative Werte ergibt.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir wirklich Leid Leute, ich bin für euer Engagement wirklich dankbar aber das ist jetzt alles völlig durcheinander und undurchsichtig für mich.

Könnten wir bei meiner neuen Erkenntnis



bleiben?
r=1 ist prima. Aber wie komme ich dahin?

diese Gleichung habe ich.
Jetzt möchte ich Xs berechnen. Wo bekomme ich meine Grenzen her? Es muss -1 und 1 sein.

Wenn ich aber für x löse, komme ich auf 0.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, habe gerade gelesen, dass der Flächenschwerpunkt eines Kreises der Schnittpunkt der Symmetrieachsen ist, also der Mittelpunkt des Kreises.

Das hilft allerdings nur, wenn man weiß, dass es sich um einen Kreis handelt.
Dann könnte man auch einfach den Mittelpunkt berechnen.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »

Es bleibt für mich trotzdem die Frage, wie man den Schwerpunkt mittels Integral berechnen könnte.
Völlig egal, welche Formel ich nun verwende, brauche ich die Grenzen für das Integral. Aber zu -1 und 1 für x und 0 und -2 für y komme ich nicht.

Könnte mir also abschließend jemand noch einmal erklären, wie ich zu den Integrationsgrenzen komme?

Gruß
Duinne
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duinne
Völlig egal, welche Formel ich nun verwende, brauche ich die Grenzen für das Integral. Aber zu -1 und 1 für x und 0 und -2 für y komme ich nicht.

Nochmal mein Fehler Hammer , weil ich voher stark im Zeitdruck war - Sorry.

Die Berechnung von x_S mittels Integral habe ich oben in jetzt korrigierter Form aufgeschrieben. Es ist ein Flächenintegral in kartesischen Koordinaten.

Es gilt:



sowie:



Man beginnt bei der Berechnung mit der Integration nach x und setzt dann die Integrationsgrenzen für x ein, die in diesem Fall von y abhängen (die Formel dazu hast Du bereits im allerersten Beitrag korrekt angegeben). Dann berechnet man die Integration nach y. Dass das erste Integral gleich Null ist, sieht man sehr schnell.

Da es noch keine Komplettlösung ist, kannst du ab hier wieder selber weiterrechnen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Zitat:
Original von Duinne
Meine Frage:
Folgende Gleichung ist gegeben:



Hier fehlt ja völlig die Angabe des Bereichs von ! Warum bemängelt das denn niemand? Wie soll man sich eine Vorstellung von einer Kurve machen, die gar nicht sauber definiert ist?

In einer Polardarstellung ist ja üblicherweise vorausgesetzt. Natürlich kann man dieses Konzept auch ausdehnen, indem man, wenn negativ ist, die Entfernung zum Ursprung in die entgegengesetzte Polarwinkelrichtung abmißt. Dennoch bleibt: Bitte erst einmal ordentliche Angaben machen.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Den Bereich habe ich vergessen Gott



Ich rechne jetzt also Folgendes:

[latex]x_S = \frac{1}{\pi} \int_0^{-2} \! x\cdot \sqrt{1-x^{2} }-1 \, dx

?
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Sorry.



Das hier?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Warum bemängelt das denn niemand?

Habe ich doch gemacht böse :

Zitat:
Original von Telefonmann1
Schau Dir vielleicht besser die ursprüngliche Form in Polarkoordinaten an. Die startet bei phi = 180° bis phi = 360° damit der Radius positiv ist.

Aber gut - jetzt haben wir zusätzlich die Bestätigung, dass diese Annahme richtig ist.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Zitat:
Original von Duinne
Das hier?

Nein. Was ist das Integral über xdx? Und dann bitte die Grenzen korrekt einsetzen.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Ich verstehe das einfach nicht...



So?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Telefonmann1
Zitat:
Original von Leopold
Warum bemängelt das denn niemand?

Habe ich doch gemacht böse :

Zitat:
Original von Telefonmann1
Schau Dir vielleicht besser die ursprüngliche Form in Polarkoordinaten an. Die startet bei phi = 180° bis phi = 360° damit der Radius positiv ist.

Aber gut - jetzt haben wir zusätzlich die Bestätigung, dass diese Annahme richtig ist.


Ich habe deine Bemerkung tatsächlich übersehen. Sorry.

Auf der anderen Seite hast du für dich selbst eine unvollständige Angabe passend gemacht, so daß sie dir sinnvoll erschien. Das enthebt den Fragesteller aber nicht von der Pflicht, vollständige Angaben zu machen. Letztlich kann niemand wissen, über welchen Bereich geht. Es hätte ja auch ein anderer als der von dir gewählte sein können, etwa ein kleineres Intervall.

Das Bild zeigt mit Mitteln der Elementargeometrie, warum der Kreis diese Polardarstellung besitzt: Satz des Thales und Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck.

[attach]34997[/attach]

EDIT: Der Kreismittelpunkt soll natürlich (0,-1) sein.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich habe deine Bemerkung tatsächlich übersehen. Sorry.

OK. Danke smile .
Dass mit dem angegebenen Bereich von phi die Funktion einen verschobenen Kreis beschreibt, habe ich allerdings weiter oben auch bereits durch Umformung des Funktionsausdruckes gezeigt Augenzwinkern .

Ich warte dann mal auf weitere Beiträge von Duinne.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Also einen Beitrag hatte ich noch gemacht aber ich denke, ich gebe jetzt auf.
Ich verstehe die Beiträge nicht mal ansatzweise. Ich schätze eure Bemühungen sehr und bin euch sehr dankbar dafür, dass ihr euch die Zeit genommen habt. Aber ich bin jetzt am Ende und weiß einfach nicht, was ich machen soll.

Die Aufgabe mit dem Schwerpunkt kann über den Mittelpunkt des Kreises berechnet werden. Somit wäre die Aufgabe gelöst. Mittels eines Integral bekomme ich es nicht auf die Reihe.

Danke und Gruß
Duinne
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duinne
und weiß einfach nicht, was ich machen soll.

Hallo Duinne,

Du hättest für den Anfang eigentlich nur ausrechnen müssen und das weiß man doch noch aus der Schule, dass das gleich 1/2 * x² ist. Die Grenzen habe ich oben bereits mit bestätigt. Eingesetzt ergibt das Null und das zweite, äußere Integral über y ändert daran auch nichts mehr, so dass sich sofort x_S = 0 ergibt.

Aber möglicherweise bist Du momentan von dem etwas chaotischen Ablauf hier irritiert. Falls dem so ist, wünsche ich noch einen entspannten Sonntagabend. Morgen ist auch noch ein Tag Augenzwinkern .
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ziemlich verwirrend für mich verwirrt aber ich schlafe noch einmal eine Nacht darüber und schau es mir morgen noch einmal an!

Vor allem bin ich verwirrt, wo das Doppelintegral herkommt. Wahrscheinlich durch dx*dy.
Naja, jetzt raucht der Kopf und muss erstmal gelüftet werden.

Aber ganz lieben Dank nochmal!

Wünsche dir auch noch einen schönen Sonntag abend =)

Liebe Grüße
Duinne
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duinne
Wahrscheinlich durch dx*dy.

Genau so ist es.

Bleib' am Ball Wink .
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Zitat:
Original von riwe
wobei eventuell die Bosheit bleibt



korrekt dürfte allerdings (nur)

sein
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Werner,

Duinne hat oben bereits bestätigt, dass phi von pi bis 2*pi läuft. Damit ist das Vorzeichen eindeutig auf + gesetzt. Der Mittelpunkt des Kreises sitzt damit auf (0,-1) und das ist auch der Schwerpunkt.

Duinne kann jetzt noch y_S rechnerisch bestätigen.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Guten Morgen!

Hier mein Ergebnis für Ys.











Damit komme ich auf die -1.
Aber was ich immer noch nicht verstanden habe, sind die Grenzen. Warum habe ich für das innere Integral die Grenze ? Das enstpricht ja f(y).

Gruß
Duinne
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duinne
Das enstpricht ja f(y).

Nimm zur anschaulichen Erklärung das reine Flächenintegral:



für die gleiche Funktion, d.h. ein Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt bei (0,-1).

Dann kann man sich die innere Integration als waagrechten Schnitt durch den Kreis an der Stelle y vorstellen. Die Funktion f(y) gibt dabei an, wie lange der Schnitt ist. Bei y=0 haben wir sie Länge 0, bei y=-1 die Länge 2 und bei y=-2 wieder die Länge 0.

Legt man alle möglichen Schnitte für alle möglichen y im Bereich 0 >= y >= -2 mit der Dicke dx nebeneinander, erhält man genau die Fläche des Kreises. Dieses "Aneinanderlegen der Schnitte" macht die y-Integration von -2 bis 0.

Bei der Schwerpunktsberechnung hat man den gleichen Vorgang, nur wird das Flächenelement zusätzlich mit einer Funktion (x, bzw. y) gewichtet.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Hm, diese Erklärung kann ich nachvollziehen. Aber ich wäre von selbst nicht darauf gekommen.
Ich finde es sehr schwierig, wenn man nicht weiß, wie der Graph aussieht, die Grenzen der Gleichung festzulegen.
Ich hatte am Anfang x berechnet. Da kommt natürlich 0 heraus. Das wäre also keine Grenze gewesen. Das hätte mir wenig genützt. Was macht man dann, wenn man nicht weiß, wie der Graph aussieht?

Aber ich danke euch vielmals für die Unterstützung und die zahlreichen Beiträge Gott

Liebe Grüße
Duinne
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duinne
Was macht man dann, wenn man nicht weiß, wie der Graph aussieht?

Man kann sich, wenn "alle Stricke reissen" mit einzelnen Punkten behelfen. Die sollten theoretisch natürlich so dicht wie möglich liegen. Man bekommt aber oft schon mit einigen Punkten wichtige Anhaltspunkte, insbesondere wenn die Zeit knapp ist.
Duinne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenschwerpunkt berechnen
Ahh, das ist könnte klappen. Normalerweise rechnet man ja immer die Nullstellen und die Extrema aus.
Hätte man denn diese ganz Aufgabe auch mit der ursprünglichen Gleichung



berechnen können? Ich überlege die ganze Zeit, ob es einen für mich einfacheren Weg gibt, der mir vielleicht eher liegt.
In meinen Unterlagen zum Beispiel habe ich noch folgende Formel zur Berechnung des Flächenschwerpunktes gefunden:





Aber hier wären die Grenzen die gleichen gewesen oder?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann jedes Mehrfachintegral mit Hilfe der Transformationsformel prinzipiell in unterschiedlichen Koordinaten berechnen.

Man müsste speziell in diesem Fall zuerst das zweidimensionale Flächenelement in Polarkoordinaten ausrechnen und dann die Schwerpunktsformel entsprechend transformieren. Dann auch noch und verwenden und die Grenzen entsprechende ausrechnen.

Mag sein, dass die Integration dann noch etwas schneller geht.

Im Prinzip geht das Transformieren analog wie bei der Substitutionsmethode mit einer Veränderlichen.
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