Jordan-Normalform

27.07.2014, 12:12

h4mmer

Jordan-Normalform

Hallo zusammen,

Es gibt ja meines Wissens keine einheitliche Konvention der JNF bezüglich der 1en.
Mal stehen sie über der Diagonalen, mal drunter.

Angenommen ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gefunden mit $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT=M \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die JNF von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit 1en unter der Diagonalen ist.

Gibt es eine (einfache) Möglichkeit, $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ so anzugeben, dass $\begin{eqnarray*} N:= M^t \end{eqnarray*}$ die JNF von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit 1en oberhalb der Diagonalen ist. .

Meine Idee.

$\begin{eqnarray*} M^t=(T^{-1}AT)^t)=T^tA^t(T^{-1})^t \end{eqnarray*}$

Das A^t stört noch. Kann man das anderst lösen, oder muss man schon in die Konstruktion von T eingreifen.

Vielen Dank für euere Hilfe,

Viele Grüße.

28.07.2014, 01:56

RavenOnJ

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RE: Jordan-Normalform
Mit einer Matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT=M \end{eqnarray*}$ , und mit einer Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS=M^T \end{eqnarray*}$ , kannst du umformen:

$\begin{align*} T^{-1}AT=M\Rightarrow A=TMT^{-1}\Rightarrow M^T&=S^{-1}AS\\ &=S^{-1}TMT^{-1}S\\ &= (T^{-1}S)^{-1}MT^{-1}S \end{align*}$

29.07.2014, 10:13

h4mmer

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RE: Jordan-Normalform
Hallo,

Erst mal vielen lieben Danke für deine Hilfe.

Zitat:

Mit einer Matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT=M \end{eqnarray*}$ , und mit einer Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS=M^T \end{eqnarray*}$ , kannst du umformen:

Ich will ja gerade so ein $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS=M^T \end{eqnarray*}$

Wenn ich dich richtig verstehe, setzt du bereits vorraus, so ein $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ gefunden zu haben.

Viele Grüße

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