Trennung der Variablen oder einfach nur ableiten?

27.07.2014, 23:32	Boedefeld	Auf diesen Beitrag antworten »
Trennung der Variablen oder einfach nur ableiten? Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob ich hier Trennung der Variablen anwenden oder einfach nur ableiten muss. Die Geschwindigkeit eines Massenpunktes ist als Funktion vom Ort bekannt als v(x)=A+exp(Cx), wobei A und C Konstanten sind. Geben Sie die Beschleunigung als Funktion vom Ort an. Meine Ideen: Da hier beides vom Ort abhängt, muss man meiner Meinung nach nur ableiten und keine Trennung der Variablen durchführen. Anders würde es aussehen, wenn die Geschwindigkeit noch von etwas anderem abhängen würde, dann müsste man TdV anwenden. Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen und sagen, wie es denn nun richtig ist. Vielen Dank für eure Hilfe und noch einen schönen Abend.
28.07.2014, 00:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit, allerdings nach der Zeit. Falls also x eine Zeitvariable ist, ist einfach nur abzuleiten. $\begin{eqnarray} a(x) = v'(x) \end{eqnarray}$ Physikalisch ist die Geschwindigkeit doch immer mit der Zeit verknüpft. Wenn nun eine Ortsabhängigkeit gegeben ist, so muss diese ihrerseits eine Zeitfunktion beinhalten. Bei der Ableitung wird dann die Kettenregel zur Anwendung kommen. Trennung der Variablen ist eine Methode beim Auflösen von Differentialgleichungen. Liegt eine Funktion in mehreren Variablen vor, so kann man partiell ableiten bzw. das totale Differential bestimmen. mY+
28.07.2014, 13:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Variablen $\begin{align} t,x,v,a \end{align}$ mögen Zeit, Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung angeben. Der Weg ist eine Funktion der Zeit, die wir als umkehrbar voraussetzen: $\begin{align} x = f(t) \ \ \Leftrightarrow \ \ t = f^{-1}(x) \end{align}$ Die Ableitungen von $\begin{align} f \end{align}$ führen auf $\begin{align} v \end{align}$ und $\begin{align} a \end{align}$ als Funktionen der Zeit: $\begin{align} v = \dot{f}(t) \end{align}$ $\begin{align} a = \ddot{f}(t) \end{align}$ Und macht man hierin $\begin{align} t \end{align}$ von $\begin{align} x \end{align}$ abhängig, erhält man $\begin{align} v \end{align}$ und $\begin{align} a \end{align}$ als Funktionen des Wegs: $\begin{align} v = g(x) = \dot{f} \left( f^{-1}(x) \right) \end{align}$ $\begin{align} a = h(x) = \ddot{f} \left( f^{-1}(x) \right) \end{align}$ Nach der Kettenregel und der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion folgt: $\begin{align} g'(x) = \ddot{f} \left( f^{-1}(x) \right) \cdot \frac{1}{\dot{f} \left( f^{-1}(x) \right)} = \frac{h(x)}{g(x)} \end{align}$ Daraus folgt: $\begin{align} h(x) = g(x) \cdot g'(x) \end{align}$ Und in deiner Aufgabe ist $\begin{align} g(x) \end{align}$ gegeben und $\begin{align} h(x) \end{align}$ gesucht.
28.07.2014, 19:26	Boedefeld	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, euch beiden vielen Dank! Also doch Trennung der Variablen. Immerhin habe ich es jetzt verstanden, dankeschön! Gruß

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »