Differenzialgleichungssysteme lösen

28.07.2014, 11:31

Manko

Differenzialgleichungssysteme lösen

Ich rätsle gerade schon seit ner Stunde herum wie ich eine allgemeine strukturierte Lösungsmethode entwickeln kann für Differentialgleichungssysteme dieser Art:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} f_1(x,y,z)=\frac{\partial v_z}{\partial y}- \frac{\partial v_y}{\partial z}\\ f_2(x,y,z)=\frac{\partial v_x}{\partial z}- \frac{\partial v_z}{\partial x}\\ f_3(x,y,z)=\frac{\partial v_y}{\partial x}- \frac{\partial v_x}{\partial y} \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Jedoch komme ich auf keinen grünen Zweig.
Speziell untersuche ich gerade das System:
$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 0=\frac{\partial v_z}{\partial y}- \frac{\partial v_y}{\partial z}\\ 0=\frac{\partial v_x}{\partial z}- \frac{\partial v_z}{\partial x}\\ x^2=\frac{\partial v_y}{\partial x}- \frac{\partial v_x}{\partial y} \end{matrix} \end{eqnarray*}$

und bin folgendermaßen vorgegangen:
Aus Gl 1

$\begin{eqnarray*} v_z=\int \frac{\partial v_y}{\partial z}dy + C(x,z) \end{eqnarray*}$

aus Gl 3

$\begin{eqnarray*} v_y = \frac{x^3}{3} + \int \frac{\partial v_x}{\partial y}dx + C(y,z) \end{eqnarray*}$

Aus Gl 2

$\begin{eqnarray*} v_x = \int \frac{\partial v_z}{\partial x}dz + C(x,y) \end{eqnarray*}$

Aber weiterhelfen tut das nicht gerade...
Wie könnte ich weiters vorgehen um mögliche vx, vy, vz zu berechnen?

28.07.2014, 14:04

Manko

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Keiner ne Idee wie man solche Gleichungen löst?

In meinem Lehrbuch wird zu beginn immer geraten und dann auf den rest geschlossen. Jedoch ist das irgendwie nicht zufriedenstellend.

Könnt ihr mir eine Inetseite empfehlen?

28.07.2014, 15:31

Bernhard1

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Das ist doch die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} rot \vec{v} = \vec{f} \end{eqnarray*}$

Derartige Gleichungen kommen bevorzugt aus der Elektrotechnik und werden dort über die Wellengleichung gelöst. Die Lösung ist vermutlich auch von Randbedingungen abhängig. Suche mal nach Differenzialoperatoren.

28.07.2014, 15:48

Manko

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Mein Ziel ist es momentan eigentlich irgendeine Lösung zu finden. Egal welche.

Für das Vektorfeld
$\begin{eqnarray*} \vec{F}=yz\vec{e}_x + zx\vec{e}_y + xy\vec{e}_z \end{eqnarray*}$

rechnet der Autor des Buches so wie im Bild. Jedoch ist mir irgendwie nie so richtig klar was unbedingt notwendig für die Rechnung ist.

ich verstehe zum Beispiel überhaupt nicht wieso der Autor annehmen darf, dass das

$\begin{eqnarray*} A_z=\frac{y^2}{2}z + f(x,z) \end{eqnarray*}$

was ja in Originalform eigentlich so aussieht
$\begin{eqnarray*} A_z=\frac{y^2}{2}z + \underset{=f(x,z)}{\underbrace{\int \frac{\partial v_y}{\partial z}dy}} \end{eqnarray*}$

der rechte Term nur von x und z abhängt. Wieso nicht auch von y? Das geht mir nicht in den Sinn.
Außerdem wäre der rechte Teil des Autors nach dem Strichpunkt eigentlich überflüssig, denn wenn man annimmt dass f(x,z) = h(x,y) = k(z,y) = 0 , dann ist ein Vektorpotential gefunden.
Wieso macht er noch so eine Art Superposition?

PS: Das 1/4 vom Autor versteh ich auch nicht. Wieso nicht 1/2?

28.07.2014, 16:20

Bernhard1

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Zitat:

Original von Manko
Wieso macht er noch so eine Art Superposition?

Das sieht für mich nach einem "educated guess" aus. Der Autor integriert dabei ganz grob vor und versucht dann die Lösung als Ganzes geschickt zu erraten. Bei so etwas muss man hinterher natürlich immer genau prüfen, ob die Lösung auch stimmt. Die Wahl willkürlicher Konstanten wie 1/2 deutet ebenfalls in diese Richtung. So etwas macht man gerne, wenn man die Lösung eigentlich schon kennt, aber den Weg aufzeigen will, wie man zu der Lösung gekommen ist.

Bei systematischen Lösungen muss man für gewöhnlich greensche Funktionen ausrechnen, was zumeist sehr viel Rechenarbeit bedeutet und gute Kenntnisse in Funktionentheorie erfordert.

28.07.2014, 16:25

Manko

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Hier ist wieder ein Extremfall. Woher weiß ich was ich jetzt 0 setzen soll und was nicht???
Ich bin ja kein Hellseher, aber der Professor offenbar schon.

Wie kann ich mir sicher sein immer eine Lösung zu finden? Ich kann ich ja nicht immer herumraten, alle ableitungen berechnen und dann schauen obs passt oder nicht.
Da brauch ich vielleicht mal nen ganzen Tag für ein einziges Beispiel. Das ist ja ein mathematisches Dilemma.

Ich brauch eine logische Schlussfolgerung (erklärt von euch), sodass ich verstehe was die Schlüsse sind die ich die Abhängigkeiten und so weiter begründen. Es kann doch nicht sein dass diese Differenzialtheorie noch nicht so gut ausgearbeitet ist. Im Internet findet sich nämlich nach stundenlanger Suche NICHTS darüber und ich habe fast schon die Hälfte dieses Tages verschwendet für so ein Anfängerproblem

Das ist so ärgerlich

28.07.2014, 16:30

Manko

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Zitat:

muss man für gewöhnlich greensche Funktionen ausrechnen

Aber was haben greensche Funktionen damit zu tun?

Ich habe schon einmal damit gerechnet, jedoch weiß ich beim besten Willen nicht wie man diese hier einsetzen könnte/sollte.

Bist du dir sicher dass du solche Funktionen meinst:

$\begin{eqnarray*} Lg(x)=\delta(x-\zeta) \end{eqnarray*}$

wobei L ein Differenzialoperator ist und g die greensche Funktion.

28.07.2014, 16:58

Bernhard1

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Zitat:

Original von Bernhard1
Die Lösung ist vermutlich auch von Randbedingungen abhängig.

Wegen rot grad f = 0 und der Linearität des rot-Operators kann man zu jeder Lösung ein Gradientenfeld addieren. Bliebe also die Suche nach einer partiellen Lösung der vorgegebenen Gleichung.

28.07.2014, 17:02

Manko

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Zitat:

Wegen rot grad f = 0 und der Linearität des rot-Operators kann man zu jeder Lösung ein Gradientenfeld addieren. Bliebe also die Suche nach einer partiellen Lösung der vorgegebenen Gleichung.

Das war mir schon bekannt. Es ändert aber gar nichts am Problem. Ich muss raten, denn wie soll ich es sonst machen?

28.07.2014, 20:09

Bernhard1

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Zitat:

Original von Manko
Ich muss raten, denn wie soll ich es sonst machen?

Stimmt schon, aber das ist in diesem Fall nicht wirklich kompliziert:

Man nimmt sich dazu natürlich die dritte Gleichung vor und hofft, dass der Rest dann irgendwie Null wird. Die dritte Gleichung enthält zuerst eine partielle Ableitung nach x. Man wählt also v_y = 1/3 * x³, damit die Ableitung x² ergibt. v_x muss dann gleich Null sein, damit man sich das x² nicht mehr kaputt macht. Dann probiert man noch, ob die triviale Annahme v_z = 0 funktioniert und sieht, dass man damit schon eine Lösung gefunden hat.

Analog geht es mit der anderen partiellen Ableitung nach y. Man wählt also v_x = -x²y und probiert analog v_z = 0 und v_y = 0. -> Wieder eine Lösung gefunden smile

29.07.2014, 16:27

Manko

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Ok, da bin ich aber beruhigt. Danke.

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