Winkel zwischen Tangenten

28.07.2014, 13:59

Gurletzky

Auf diesen Beitrag antworten »

Winkel zwischen Tangenten

Hallo zusammen, habe hier eine Frage, bei der ich nicht weiterkomme :-/

Gegeben $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{e^{x} }{x+t} \end{eqnarray*}$

t sei 1.5
Vom Ursprung werden die beiden Tangenten an den Funktionsgraphen gelegt. Berechne den Schnittwinkel dieser Tangenten.

Vorgehen:
Hab die erste Ableitung gemacht (bitte kontrollieren)

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{e^{x}(x+\frac{1}{2}) }{(x+\frac{3}{2} ^{2}) } \end{eqnarray*}$

1. Ableitung = Steigung im Punkt x -->

t: $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}(x+\frac{1}{2}) }{(x+\frac{3}{2} ^{2}) } *x \end{eqnarray*}$

Anschliessend t=f(x) gesetzt und das gab mir die beiden x-Werte x1=-1, x2=1.5

Danach hab ichs mit der formel tan Alpha = m1-m2 /1+m1*m2 probiert bin aber nichts aufs richtige Resultat gekommen :-(

Lösung sollte 81.23° sein...

Wo sind meine Fehler? verwirrt

verwirrt

28.07.2014, 14:04

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Vom Ursprung werden die beiden Tangenten an den Funktionsgraphen gelegt. Berechne den Schnittwinkel dieser Tangenten.

Welcher Tangenten denn?

28.07.2014, 14:07

Gurletzky

Auf diesen Beitrag antworten »

an den Funktionsgraphen f(x)... der macht doch so ne kurve und geht durch x=0 und y=2/3

28.07.2014, 14:09

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du kannst die Tangente an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in einem $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb{R}\backslash\left\{-t\right\} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Dafür musst du aber erstmal ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ angeben, bzw. für diese Aufgabe gleich zwei.

28.07.2014, 14:11

Gurletzky

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh deine Aussage nicht... die Definitionsmenge ist mir klar aber dein x0 nicht :-/

t=1.5 haste mitbekommen? verwirrt

verwirrt

Ansonsten seh ich gleich nicht, warum ich noch mehr Angaben dazu benötige...

28.07.2014, 14:14

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x+\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ in diesem Fall.

Erstmal musst du die Steigung in einem Punkt berechnen? Aber in welchem?

Anzeige

28.07.2014, 14:17

Gurletzky

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe keinen zusätzlichen punkt vorhanden, sonst wäre die Aufgabe ja ratzfatz gelöst...

Kann ich die Steigung nicht wie oben gemacht in einem Punkt x stehen lassen und so als Steigung bei meiner Tangente einsetzen und diese ganze Steigung anschliessend noch mal x rechnen (mx+q=y wobei q=0 da es durch den Ursprung geht)?

edit: hab grad noch gesehen, dass mein Quadrat im Nenner bei der Ableitung innerhalb der Klammer steht... gehört natürlich ausserhalb ;-)

28.07.2014, 14:21

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Gib mal bitte die gesamte Aufgabe an.

28.07.2014, 14:23

Gurletzky

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich.

Funktion ist gegeben. t ist 1.5. vom Ursprung aus Tangenten an die Funktion (mit t=1.5) legen.

28.07.2014, 14:27

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir erstmal was soweit geht.

Deine Ableitung ist korrekt, was ist also die Steigung der Tangente an $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?

28.07.2014, 14:46

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung enthält einen Schreibfehler:
Das Quadrat im Nenner muss außerhalb der Klammer stehen. Wink

Wink

28.07.2014, 15:00

Gurletzky

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, wenn ich hier etwas forsch antworte, aber ich versteh deine Frage erneut nicht... Tangente an 0? x=0? ist ja keine Tangente...

Mittlerweile habe ich mich in der Theorie noch einmal schlau gemacht und bin auch folgenden Lösungsansatz gekommen.

Der Punkt B auf der Funktion f(x) definiert sich mit B(u,f(u))

Anschliessend die Steigung mit m = (y_b-y_p)/(x_b+x_p) wobei bei mir P (0/0) ist.

diese Gleichung anschliessend gleich gestellt mit der 1. Ableitung von vorhin und das ganze ausgerechnet und ich komme erneut auf x1=1.5 und x2=-1

Nun denke ich, dass (mit zwei unterschiedlichen Lösungsarten und gleiches Ergebnis) meine Lösungen stimmen.

Berührpunkt 1: B1 = $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2} /\frac{e^{\frac{3}{2} } }{3} ) \end{eqnarray*}$
Berührpunkt 2: B2 = $\begin{eqnarray*} (-1/\frac{1}{\frac{1}{2}e } ) \end{eqnarray*}$

Habe nun die Werte eingesetzt in die 1. Ableitung und die beiden Steigungen noch einmal mit meiner Formel tan Alpha = .... ausgerechnet und nun stimmts Prost

Prost

(sorry hab da grad während dem schreiben weitergerechnet und deshalb wusste ich zu beginn noch nicht obs stimmt und jetzt schon)

Danke dir trotzdem!!!!

29.07.2014, 22:09

Gurletzky

Auf diesen Beitrag antworten »

noch grad kurz ne andere Winkelfrage...

Wenn ich zwei Funktionen gegeben habe (Polynomfunktion 4. und 2. Grades), den Schnittpunkt berechne davon und diesen x-Wert in die 1. Ableitung beider Funktionen einsetze und ausrechne. Dann kann ich von beiden Ergebnissen den arctan nehmen und minus rechnen, um den Schnittwinkel zu berechnen, stimmt das?

(Winkel der beiden Graphen im Schnittpunkt des positiven x-Wertes)

Wenn ja, welche Überlegung steckt dahinter (evtl. auch grafisch?!)

30.07.2014, 01:19

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt so.
Der Grund wird dir einsichtig sein, wenn du eine kleine Skizze machst ..
Die Steigung ist der Tangens des Winkels mit der positiven x-Achse, $\begin{eqnarray*} m = \tan \alpha \end{eqnarray*}$ .
Zeichne das Dreieck mit den Schnittpunkten der beiden Geraden mit der x-Achse und dem Schnittpunkt der Geraden als Eckpunkte und bestimme dessen Winkel.
Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und die beiden Winkel in den Schnittpunkten mit der x-Achse o.B.d.A. (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 180° - \alpha_2 \end{eqnarray*}$
Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.

Somit ist $\begin{eqnarray*} \varphi = 180° - \alpha_1 - (180° - \alpha2) = \alpha_2 - \alpha_1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt auch $\begin{eqnarray*} \tan \varphi = \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2} \end{eqnarray*}$

mY+

30.07.2014, 16:49

balance

Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos
Die Formel muss doch in den Betrag, nicht? Also deine allerletzte für den spitzen Winkel. Weist du wo ich eine Herleitung finde? Leider scheint sie keinen richtigen Namen zu haben.

Edit: ah, additiosntheorem von tan ist die Lösung.

30.07.2014, 21:28

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Betrag muss nicht unbedingt in die Formel.
Ein negativer Tangenswert weist auf einen Winkel zwischen 90° und 180° hin.
Und dieser Fall kann durchaus eintreten, wenn die nach oben gerichteten Teile der beiden Geraden einen stumpfen Winkel einschließen.

mY+

01.08.2014, 15:29

MMchen60

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion
Ja, du kannst die Tangente an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in einem $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb{R}\backslash\left\{-t\right\} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Dafür musst du aber erstmal ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ angeben, bzw. für diese Aufgabe gleich zwei.

Diese Aussage ist falsch. Die Aufgabenstellung verlangt das Legen einer Tangente an die Funktion durch einen auf der Funktion unbekannten Punkt. Es ist ein weiterer Punkt der Tangente gegeben, nämlich der Ursprung. Damit lassen sich mit der Punkt-Steigungsformel und f'(u) die Punkte auf der Funktion bestimmen, die der Aufgabenstellung genügen. Der/die Punkt/e haben die Koordinate von z.B. (u|f(u)).

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »