Summanden bestimmen

28.07.2014, 12:28

a0123456789

Summanden bestimmen

Meine Frage:
Summanden in der Entwicklung von $\begin{eqnarray*} (\frac{x}{3} - \frac{3}{x} )^{12} \end{eqnarray*}$ bestimmen, der x^4 enthält

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^12 \begin{pmatrix} 12 \\ k \end{pmatrix} (\frac{x}{3})^{12-k}(-\frac{3}{x} )^{k} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^12 (-1)^{k}\begin{pmatrix} 12 \\ k \end{pmatrix} \cdot (x^{-3})^{12-k}\cdot (3^{-x})^{k} = x^{36-3k}\cdot 3^{-xk} = x^{12-2k} \cdot 3^{-xk} \end{eqnarray*}$

aber ich komme hier nicht mehr weiter...

28.07.2014, 12:59

klarsoweit

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RE: Summanden bestimmen

Zitat:

Original von a0123456789
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^12 \begin{pmatrix} 12 \\ k \end{pmatrix} (\frac{x}{3})^{12-k}(-\frac{3}{x} )^{k} \end{eqnarray*}$

Gemeint ist: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{12} \begin{pmatrix} 12 \\ k \end{pmatrix} (\frac{x}{3})^{12-k}(-\frac{3}{x} )^k \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von a0123456789
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^12 (-1)^{k}\begin{pmatrix} 12 \\ k \end{pmatrix} \cdot (x^{-3})^{12-k}\cdot (3^{-x})^{k} \end{eqnarray*}$

Wie wird denn aus $\begin{eqnarray*} \frac x 3 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x^{-3} \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} \frac 3 x \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} 3^{-x} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Und bitte verbinde gleiche Terme mit einem Gleichheitszeichen und nicht mit einem Rechtspfeil.

28.07.2014, 13:45

a0123456789

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ups, ja danke.

28.07.2014, 13:47

a0123456789

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es gilt doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^{k}} = a^{-k} \end{eqnarray*}$ oder?

28.07.2014, 14:05

klarsoweit

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Ja, da wird aus $\begin{eqnarray*} x^{-3} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^3} \end{eqnarray*}$ , aber bestimmt nicht ein $\begin{eqnarray*} \frac x 3 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

28.07.2014, 15:43

a0123456789

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schade

kann man das gar nicht umstellen? oder gilt da eine andere Regel??

29.07.2014, 06:23

klarsoweit

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Nun ja, wir sind hier im Hochschulbereich. Da sollte man erwarten können, daß die Potenzregeln bekannt sind:

$\begin{eqnarray*} \left(- \frac 3 x \right)^k = \frac{(-3)^k}{x^k} = (-3)^k \cdot x^{-k} \end{eqnarray*}$

29.07.2014, 07:34

a0123456789

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ja ich weiß, mir fehlt es an ein paar Grundregeln.

also =>
$\begin{eqnarray*} x^{12-k} \cdot 3^{-12-k} \cdot (-3^{k}) \cdot x^{-k} = x^{12-2k} \cdot 3^{-12} \end{eqnarray*}$

und dann betrachten wir 12-2k, nach der Aufgabenstellung muss dann sein:
12-2k=4
-2k=-8
k=4

und dann können wir den Summand für k=4 ausrechnen.

29.07.2014, 08:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von a0123456789
$\begin{eqnarray*} x^{12-k} \cdot 3^{-12-k} \cdot (-3^{k}) \cdot x^{-k} = x^{12-2k} \cdot 3^{-12} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} x^{12-k} \cdot 3^{-12+k} \cdot (-3)^k \cdot x^{-k} = x^{12-2k} \cdot 3^{-12+2k} \cdot (-1)^k \end{eqnarray*}$
Der Rest stimmt dann. smile

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