Stetigkeit nachweisen -Zeitunabhängiges Vektorfeld

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JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit nachweisen -Zeitunabhängiges Vektorfeld
Hallo,

folgende Aufgabe:

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

f:__>, v__>

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
_____________________________________________

Bei der Lipschitz-Bedingung bin ich noch gar nicht. Ich weiß noch nicht ganz, wie ich die Stetigkeit in einem Vektorfeld nachweisen kann.
Es gibt ja auch die Epsilon-Delta Methode. Jetzt frage ich mich, kann ich bei dieser Aufgabe nicht einfacher die Differenzierbarkeit nachweisen, um die Stetigkeit zu zeigen?

Danke schonmal!
Gruß
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist doch nur ? verwirrt
Da sollte doch Stetigkeit kein Problem sein smile
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch es gerade nach der Epsilon / Delta - Methode zu zeigen, aber irgendwie weiß ich nicht, wie ich später auf |v - v0| < delta komme

Und wenn ich versuche, die Stetigkeit durch die Differenzierbarkeit zu zeigen, steht mir das hoch 2/3 im Wege, oder genauso die 3. Wurzel...

Welchen Weg würdest du denn empfehlen?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Auf jeden Fall - eher als Differenzierbarkeit.
Wie weit bist du denn?

Eigentlich lässt sich das natürlich auch einfacher abhandeln...
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich bin jetzt gerade hier:

Sei . Setze

mit erweitern, und das gleich 2 mal.

.. =

Jetzt 27 und 9 kürzen, sodass =


=

Jetzt kann ich, da |x - x_0| < delta gilt,

auch <

Soweit das richtig sein sollte, kommei ch jetzt nicht weiter. Da ich irgendwie das X nicht wegbekomme..
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit denn richtig?^^
 
 
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Ooooder ist das einfach:

Wenn gilt auch

reicht das etwa so schon?^^
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde einfach wie folgt argumentieren: Es ist stetig, zumindest stetig auf und mit ist auch stetig für stetige .

Mit und hast du deinen Fall.
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber reicht das denn für R>0 ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Für ?
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Meinte, wenn ich das für zeige, ob dass der Aufgabenstellung genügt?
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, mit dem ist auch stetig für stetige .
Zeige ich, dass es auf ganz stetig ist, oder?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Für ist sowieso .
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt Hammer

Was jetzt aber noch viel schlimmer ist, ist der 2. Aufgabenteil:
Zeige, dass,..., aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt...

Wie kann ich am besten zeigen, dass es der Bedingung nicht genügt? verwirrt
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Was würde es denn heißen einer Lipschitzbedingung zu genügen? Für ...
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

für L > 0 mit || f(t,u) - f(t,v)|| L*||u-v|| ... ^^
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Was haben die dort zu suchen? verwirrt
Da wir uns hier in aufhalten reicht auch .
Beachte jetzt insb. den MWS.
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Ok!
Wir haben ein reelles Intervall und eine stetige Funktion.

Nach dem MWS gibt es ein


Aber was sagt mir das jetzt, dass es nicht der Bedinung genüge soll?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

So meinte ich das nicht.
Zitat:
Wir haben ein reelles Intervall und eine stetige Funktion.

Sogar differenzierbar.

Also: mit , daraus ergibt sich .
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß aber echt nicht, wie mir das jetzt weiterhelfen soll verwirrt
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

und sieht doch schon ähnlich aus, mit .
Betrachte jetzt mal Augenzwinkern
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist die Ableitung anstatt dem Punkt an sich?!^^
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Welcher Punkt? Hast du schonmal berechnet?
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

f' =

gleich fällt der Groschen...!
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Hm oder haben wir hier gar kein Intervall? bzw.
Geht es in die Richtung?
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, eventuell,

Da das , bzw. v
bei der Ableitung f' = , die 0 sein müsste? Das aber mathematisch nicht geht und L>= 0 sein muss um die Bedingung zu erfüllen?


Bin ich der Lösung näher gekommen?` geschockt
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das jetzt so aufschreibe, wäre das richtig?



Damit genügt die Funktion nicht einer Lipschitz-Bedingung.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ok wir haben also . Was soll denn heißen? verwirrt
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ich brauche doch ein reelles Intervall
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

ist keins. Es wäre etwa mit einem ein Intervall.
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann das.

Da für die Lipschitz-Bedingung ja |u-v|*L ... gilt, schätze ich das beim MWS auch so ab, sprich ich suche das Supremum.

Da jedoch sup hiervon 0 wäre, geht es mathematisch nicht!
So in der Art?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Lokal Lipschitz-Stetig zu sein heißt doch, dass jeder Punkt eine Umgebung besitzt, sodass einer Lipschitzbedingung genügt.

Was sind jetzt Punkte, für die das schwierig werden könnte?
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß es echt nicht..
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

0, da es dann keine offene Menge mehr ist?

Ich hab echt ka, sorry
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst dus mir denn sagen? Ich denke, dann sollte ich das einmal kapieren, und anwenden können
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

hast du nicht noch irgend einen Anstoß, ich kann mit der Definition gerade nicht ganz so viel anfangen...
JensSkywalker Auf diesen Beitrag antworten »

beim Intervall von [1,1.1] gehts nicht..
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