Stetigkeit nachweisen -Zeitunabhängiges Vektorfeld

28.07.2014, 18:52

JensSkywalker

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Stetigkeit nachweisen -Zeitunabhängiges Vektorfeld

Hallo,

folgende Aufgabe:

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ __> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , v__> $\begin{eqnarray*} 3v^{2/3} = 3*\sqrt[3]{v^{2} } \end{eqnarray*}$

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
_____________________________________________

Bei der Lipschitz-Bedingung bin ich noch gar nicht. Ich weiß noch nicht ganz, wie ich die Stetigkeit in einem Vektorfeld nachweisen kann.
Es gibt ja auch die Epsilon-Delta Methode. Jetzt frage ich mich, kann ich bei dieser Aufgabe nicht einfacher die Differenzierbarkeit nachweisen, um die Stetigkeit zu zeigen?

Danke schonmal!
Gruß

28.07.2014, 19:42

bijektion

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Hier ist doch nur $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Da sollte doch Stetigkeit kein Problem sein smile

smile

29.07.2014, 00:50

JensSkywalker

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Ich versuch es gerade nach der Epsilon / Delta - Methode zu zeigen, aber irgendwie weiß ich nicht, wie ich später auf |v - v0| < delta komme

Und wenn ich versuche, die Stetigkeit durch die Differenzierbarkeit zu zeigen, steht mir das hoch 2/3 im Wege, oder genauso die 3. Wurzel...

Welchen Weg würdest du denn empfehlen?

29.07.2014, 09:01

bijektion

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Auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ eher als Differenzierbarkeit.
Wie weit bist du denn?

Eigentlich lässt sich das natürlich auch einfacher abhandeln...

29.07.2014, 14:28

JensSkywalker

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Okay, ich bin jetzt gerade hier:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} \delta :=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |3x^{\frac{2}{3} } - 3x_0^{\frac{2}{3} } | \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{|3x^{\frac{2}{3} } - 3x_0^{\frac{2}{3} }|}{|3x^{\frac{2}{3} } - 3x_0^{\frac{2}{3} }|} \end{eqnarray*}$ erweitern, und das gleich 2 mal.

.. = $\begin{eqnarray*} \frac{27x^{2} - 27x_0^{2}}{9x^{\frac{4}{3}}- 9x_0^{\frac{4}{3} } } \end{eqnarray*}$

Jetzt 27 und 9 kürzen, sodass =
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} - x_0^{2} }{\frac{1}{3}*(x^{\frac{4}{3} - } x_0^{\frac{4}{3} } )} <br /> \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(x - x_0)*(x + x_0) }{\frac{1}{3}*(x^{\frac{4}{3} - } x_0^{\frac{4}{3} } )} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich, da |x - x_0| < delta gilt,

auch < $\begin{eqnarray*} \delta * \frac{(x + x_0)}{\frac{1}{3}*... } \end{eqnarray*}$

Soweit das richtig sein sollte, kommei ch jetzt nicht weiter. Da ich irgendwie das X nicht wegbekomme..

30.07.2014, 11:18

JensSkywalker

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Soweit denn richtig?^^

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30.07.2014, 11:23

JensSkywalker

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Ooooder ist das einfach:

Wenn $\begin{eqnarray*} | v - v_0 | < \delta \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} | 3v^{\frac{2}{3} } - 3v_0^{\frac{2}{3} } | < \delta \end{eqnarray*}$

reicht das etwa so schon?^^

30.07.2014, 11:31

bijektion

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Ich würde einfach wie folgt argumentieren: Es ist $\begin{eqnarray*} v\mapsto v^2 \end{eqnarray*}$ stetig, $\begin{eqnarray*} x^{\frac{p}{q}} \end{eqnarray*}$ zumindest stetig auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{>0} \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot f \end{eqnarray*}$ stetig für stetige $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} p=2,q=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$ hast du deinen Fall.

30.07.2014, 12:06

JensSkywalker

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Okay, aber reicht das denn für R>0 ?

30.07.2014, 12:08

bijektion

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Für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{>0} \end{eqnarray*}$ ?

30.07.2014, 12:10

JensSkywalker

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Meinte, wenn ich das für $\begin{eqnarray*} \mathbb R >0 \end{eqnarray*}$ zeige, ob dass der Aufgabenstellung genügt?

30.07.2014, 12:12

JensSkywalker

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Ah, mit dem $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot f \end{eqnarray*}$ stetig für stetige $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Zeige ich, dass es auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig ist, oder?

30.07.2014, 12:14

bijektion

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Für $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist sowieso $\begin{eqnarray*} v^2\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

30.07.2014, 12:18

JensSkywalker

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Ja, stimmt Hammer

Hammer

Was jetzt aber noch viel schlimmer ist, ist der 2. Aufgabenteil:
Zeige, dass,..., aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt...

Wie kann ich am besten zeigen, dass es der Bedingung nicht genügt? verwirrt

verwirrt

30.07.2014, 12:20

bijektion

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Was würde es denn heißen einer Lipschitzbedingung zu genügen? Für $\begin{eqnarray*} L>0 \end{eqnarray*}$ ...

30.07.2014, 12:39

JensSkywalker

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für L > 0 mit || f(t,u) - f(t,v)|| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ L*||u-v|| ... ^^

30.07.2014, 12:44

bijektion

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Was haben die $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ dort zu suchen? verwirrt

verwirrt

Da wir uns hier in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aufhalten reicht auch $\begin{eqnarray*} |f(v)-f(w)|\leq L\cdot |v-w| \end{eqnarray*}$ .
Beachte jetzt insb. den MWS.

30.07.2014, 13:16

JensSkywalker

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Ok!
Wir haben ein reelles Intervall und eine stetige Funktion.

Nach dem MWS gibt es ein
$\begin{eqnarray*} L \in \left[a,b\right] mit \int_a^b \! f(x) \, dx = f(L)*(u-v) \end{eqnarray*}$

Aber was sagt mir das jetzt, dass es nicht der Bedinung genüge soll?

30.07.2014, 13:33

bijektion

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So meinte ich das nicht.

Zitat:

Wir haben ein reelles Intervall und eine stetige Funktion.

Sogar differenzierbar.

Also: $\begin{eqnarray*} \exists \xi \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ , daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} |f(b)-f(a)|=|f'(\xi)|\cdot |b-a| \end{eqnarray*}$ .

30.07.2014, 13:39

JensSkywalker

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Ich weiß aber echt nicht, wie mir das jetzt weiterhelfen soll verwirrt

verwirrt

30.07.2014, 13:48

bijektion

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$\begin{eqnarray*} |f(b)-f(a)|=|f'(\xi)|\cdot |b-a| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(v)-f(w)|\leq L\cdot |v-w| \end{eqnarray*}$ sieht doch schon ähnlich aus, mit $\begin{eqnarray*} a=w,b=v \end{eqnarray*}$ .
Betrachte jetzt mal $\begin{eqnarray*} |f'(\xi)| \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.07.2014, 13:55

JensSkywalker

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ja, das ist die Ableitung anstatt dem Punkt an sich?!^^

30.07.2014, 14:05

bijektion

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Welcher Punkt? Hast du schonmal $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ berechnet?

30.07.2014, 14:24

JensSkywalker

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f' = $\begin{eqnarray*} 2v^{-1/3} \end{eqnarray*}$

gleich fällt der Groschen...!

30.07.2014, 14:36

JensSkywalker

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Hm oder haben wir hier gar kein Intervall? bzw. $\begin{eqnarray*} \left[R+ ,\infty \right] \end{eqnarray*}$
Geht es in die Richtung?

30.07.2014, 15:47

JensSkywalker

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Hm, eventuell,

Da das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ , bzw. v
bei der Ableitung f' = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt[3]{v}} \end{eqnarray*}$ , die 0 sein müsste? Das aber mathematisch nicht geht und L>= 0 sein muss um die Bedingung zu erfüllen?
$\begin{eqnarray*} |f(b)-f(a)|=|f'(\xi)|\cdot |b-a| \end{eqnarray*}$

Bin ich der Lösung näher gekommen?` geschockt

geschockt

30.07.2014, 17:41

JensSkywalker

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Wenn ich das jetzt so aufschreibe, wäre das richtig?

$\begin{eqnarray*} L:= sup |\frac{2}{\sqrt[3]{v}}|, v\in ]0,\mathbb R [, <br /> v--->0, sup ---> \infty \end{eqnarray*}$

Damit genügt die Funktion nicht einer Lipschitz-Bedingung.

30.07.2014, 18:47

bijektion

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Ok wir haben also $\begin{eqnarray*} f'(v)=\frac{2}{\sqrt[3]{v}} \end{eqnarray*}$ . Was soll $\begin{eqnarray*} v\in ]0,\mathbb{R}[ \end{eqnarray*}$ denn heißen? verwirrt

verwirrt

30.07.2014, 18:58

JensSkywalker

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Hm ich brauche doch ein reelles Intervall

30.07.2014, 19:00

bijektion

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$\begin{eqnarray*} v\in ]0,\mathbb{R}[ \end{eqnarray*}$ ist keins. Es wäre etwa $\begin{eqnarray*} (0,R) \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ ein Intervall.

30.07.2014, 19:07

JensSkywalker

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Okay, dann das.

Da für die Lipschitz-Bedingung ja |u-v|*L $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ... gilt, schätze ich das beim MWS auch so ab, sprich ich suche das Supremum.

Da jedoch sup $\begin{eqnarray*} |\frac{2}{\sqrt[3]{v}}| \end{eqnarray*}$ hiervon 0 wäre, geht es mathematisch nicht!
So in der Art?

30.07.2014, 19:21

bijektion

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Lokal Lipschitz-Stetig zu sein heißt doch, dass jeder Punkt $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_{v_0} \end{eqnarray*}$ besitzt, sodass $\begin{eqnarray*} f\mid_{U} \end{eqnarray*}$ einer Lipschitzbedingung genügt.

Was sind jetzt Punkte, für die das schwierig werden könnte?

30.07.2014, 19:38

JensSkywalker

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Ich weiß es echt nicht..

30.07.2014, 19:45

JensSkywalker

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0, da es dann keine offene Menge mehr ist?

Ich hab echt ka, sorry

30.07.2014, 20:17

JensSkywalker

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Kannst dus mir denn sagen? Ich denke, dann sollte ich das einmal kapieren, und anwenden können

30.07.2014, 23:19

JensSkywalker

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hast du nicht noch irgend einen Anstoß, ich kann mit der Definition gerade nicht ganz so viel anfangen...

31.07.2014, 01:10

JensSkywalker

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beim Intervall von [1,1.1] gehts nicht..

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