Infimum bestimmen

28.07.2014, 17:59

Elvandy100

Infimum bestimmen

Guten Abend,

habe Probleme bei einer Aufgabe die ein Freund von mir berechnet hat und ich.
Könnt ihr euch das mal bitte angucken.

Aufgabe:

Infimum und maximum bestimmen von $\begin{eqnarray*} x = \frac{2n+6)^2 - 4n^2}{n} \end{eqnarray*}$ (mit posetiven natürlichen Zahlen n)

Habe das soweit vereinfacht das ich noch folgendes stehen habe:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{24n+36}{n} \end{eqnarray*}$

Mein Kollege hat für das max: 60 und für das Inf: 24

Ich habe für das max: 60 und für das Inf: 1

Ist eins von den Ergebnissen richtig ?

habe ich eh noch mal fragen zum Infimum.

mfg Elvandy

28.07.2014, 18:05

bijektion

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Du meinst $\begin{eqnarray*} x=\frac{(2\cdot n+6)^2-4\cdot n^2}{n} \end{eqnarray*}$ oder?

Dann stimmt deine Vereinfachung und durch kürzen erhälst du $\begin{eqnarray*} x=24+\frac{36}{n} \end{eqnarray*}$ .
Schau dir mal $\begin{eqnarray*} \frac{36}{n} \end{eqnarray*}$ : Wie groß bzw. klein kann dieser Ausdruck mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ werden?

29.07.2014, 13:42

Elvandy100

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Genau das meinte ich !

kam gar nicht auf die idee das so zu betrachten.

also n kann 1 oder 36 werden oder ?

29.07.2014, 13:53

voodoo666

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Zitat:

Original von Elvandy100

also n kann 1 oder 36 werden oder ?

Das ist doch eine Folge oder nicht? Es geht nicht darum was n werden kann, denn n ist eine natürliche Zahl.
Überleg dir doch mal was für ein n du wählen musst um den Größtmöglichen Wert für x zu erhalten.

29.07.2014, 14:05

Elvandy100

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aso ok

also x ist am größten wenn n = 1 ist weil n eine natürliche zahl ist!

$\begin{eqnarray*} x = 24 +\frac{36}{1} = 60 \end{eqnarray*}$

x ist am kleinsten wenn n = 36 ist!

$\begin{eqnarray*} x = 24 +\frac{36}{36} = 25 \end{eqnarray*}$

also ist mein max= 60 und mein inf=25 ??

29.07.2014, 17:58

voodoo666

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Zitat:

Original von Elvandy100
aso ok

also x ist am größten wenn n = 1 ist weil n eine natürliche zahl ist!

$\begin{eqnarray*} x = 24 +\frac{36}{1} = 60 \end{eqnarray*}$

x ist am kleinsten wenn n = 36 ist!

$\begin{eqnarray*} x = 24 +\frac{36}{36} = 25 \end{eqnarray*}$

also ist mein max= 60 und mein inf=25 ??

Dein Maximum stimmt. Was ist denn mit n = 37? Ist x dann nicht noch kleiner? Schau dir am besten nochmal deine Definitionen an, insbesondere der Unterschied zwischen Supremum/Maximum und Infimum/Minimum. smile

30.07.2014, 19:16

Elvandy100

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Schon mal vielen dank =)

aber 37 geht ja nicht weil es dann keine natürliche zahl mehr ist.

bedeutet das dann das 24 das infimum ist ?

30.07.2014, 20:32

bijektion

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Zitat:

aber 37 geht ja nicht weil es dann keine natürliche zahl mehr ist.

Oh her, das verstehst du aber etwas ganz falsch geschockt

Es ist $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Du betrachtest die Menge $\begin{eqnarray*} M=\left\{ 24+\frac{36}{n}|n\in\mathbb{N} \right\} \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und bestimmst $\begin{eqnarray*} \sup M \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \inf M \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht wird es so klarer.

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