Gradientenfeld, Differentialgleichung

29.07.2014, 10:59

xyz--

Gradientenfeld, Differentialgleichung

Hallo,

Es sei
$\begin{eqnarray*} h: \mathbb R ^{n} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$
eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.

Wie mache ich das, ohne, dass ich eine direkte Funktion dazu habe? verwirrt

29.07.2014, 11:05

Bernhard1

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Man könnte hier $\begin{eqnarray*} \nabla h \end{eqnarray*}$ als Formel hinschreiben, aber selbst das ist fraglich. Ferner gibt es da keine "zugehörige" DGL. Die Aufgabe ist unvollständig formuliert.

29.07.2014, 11:12

xyz--

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Leider ist die Aufgabe, die ich lösen soll, genau so formuliert.
Also kann man da so keine Lösung zu finden?

29.07.2014, 11:29

Bernhard1

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Zitat:

Original von xyz--
Also kann man da so keine Lösung zu finden?

Linearformen in der Art gibt es wirklich viele.

Eventuell hat aber der Prof. in der Vorlesung für h eine bestimmte Linearform definiert mit zugehöriger DGL?

29.07.2014, 11:31

Huggy

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Sei $\begin{eqnarray*} a,b,x \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eine Linearform ist, heißt das doch:

$\begin{eqnarray*} h=a \cdot x \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \nabla h = a \end{eqnarray*}$

das Gradientenfeld und die Lösung dieser DGL ist

$\begin{eqnarray*} h =a \cdot x +b \end{eqnarray*}$

Kann das so einfach gemeint sein?

29.07.2014, 11:32

Ehos

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Da die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Linearform ist, hat f die Gestalt eines Skalarproduktes, also

$\begin{eqnarray*} f(\vec x)=\vec a\cdot \vec x \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \vec a\in \mathbb {R}^n \end{eqnarray*}$ irgendein konstanter Vektor. Dann gilt für den Gradienten von f

$\begin{eqnarray*} \nabla f=\vec a \end{eqnarray*}$

Die Lösung dieser Differenzialgleichung ist natürlich wieder die ursprüngliche Linearform plus eine Integrationskonstante, also

$\begin{eqnarray*} f(\vec x)=\vec a\cdot \vec x+C \end{eqnarray*}$

29.07.2014, 11:59

Bernhard1

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Zitat:

Original von Huggy
Kann das so einfach gemeint sein?

Scheinbar

29.07.2014, 14:06

xyz--

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okay, danke. Vermutlich ist das wirklich so einfach gemeint.

Nur was bedeutet dieses Dreieck, was falschherum ist?

29.07.2014, 14:39

Huggy

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Das ist der Nabla-Operator. Hier bedeutet er Gradient. Er kann auch Divergenz oder Rotation bedeuten.

$\begin{eqnarray*} \nabla f = grad \, f \end{eqnarray*}$ (f ist skalare Funktion)

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \vec f = div \vec f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla \times \vec f = rot \vec f \end{eqnarray*}$

In den beiden letzten Fällen ist $\begin{eqnarray*} \vec f \end{eqnarray*}$ eine vektorwertige Funktion.

29.07.2014, 14:40

xyz--

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okay, Dankeschön smile

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