Diagonalisierung

29.07.2014, 09:08

rechtwinklig

Diagonalisierung

Morgen, ich soll schauen ob die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 3 \\ 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
diagonalisierbar ist. Ich habe dazu die EW bestimmt und bin auf:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_3=9 \end{eqnarray*}$ gekommen. Nun sind $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ paarweise verschiedene EW demnach ist A diagonalisierbar.

Nun habe ich mir die Mühe mal gemacht und die EV bestimmt.

Zu $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ erhalte ich den Eigenraum: $\begin{eqnarray*} span(\begin{pmatrix} -14 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ also paast die geometrische Vielfachheit mit der algebraischen überein.

$\begin{eqnarray*} \lambda_2=7 \end{eqnarray*}$ da erhalte ich den Eigenraum $\begin{eqnarray*} span(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ also hier passt auch algebraische und geometrische Vielfachheit überein.

Nun $\begin{eqnarray*} \lambda_3=9. \end{eqnarray*}$ Da erhalte ich den Eigenraum: $\begin{eqnarray*} span(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ was ja bedeutet das die geometrische Vielfachheit 3 ist. Das kann aber nicht sein da sie 1 sein müsste. Kann mir jemand sagen wo ich mich vertan habe? Danke! Wink

29.07.2014, 09:14

Iorek

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Sowohl deine Eigenräume zu $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ sind falsch. Wo genau du dich vertan hast, kann man ohne weitere Angaben nicht sagen.

29.07.2014, 09:26

rechtwinklig

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RE: Diagonalisierung
Oh ja. ich habe noch einmal nachgerechnet und erhalte jetzt

Eigenraum zu $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} span(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

und zu $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ ist der Eigenraum $\begin{eqnarray*} span(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Müssten die Eigenräume nicht alle dimension von 1 besitzen? da sonst geometrische Vielfachheit=algebraischer Vielfachheit ja garnicht gilt ... verwirrt

29.07.2014, 09:34

rechtwinklig

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RE: Diagonalisierung
Nein, der Eigenraum zu \lambda_3 muss doch $\begin{eqnarray*} span(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein. Ich habe

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gerechnet also das Vektorprodukt der ersten beiden Zeilen gebildet und da komme ich auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 12\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das gleiche habe ich auf bei den anderen beiden Eigenräumen gemacht ...

29.07.2014, 09:42

Iorek

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Und warum genau bildest du das Vektorprodukt? verwirrt

29.07.2014, 09:56

rechtwinklig

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Weil die Zeilenvektoren senkrecht aufeinander stehen müssen. Ich wollte mir einfach nur ersparen das LGS zu lösen. Big Laugh

Zumindest wurde uns gesagt das man ein homogenes $\begin{eqnarray*} 3\times 3 \end{eqnarray*}$ LGS auch damit lösen kann ...

Wo ist denn jetzt der Fehler?

29.07.2014, 09:58

klarsoweit

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RE: Diagonalisierung

Zitat:

Original von rechtwinklig
Müssten die Eigenräume nicht alle dimension von 1 besitzen? da sonst geometrische Vielfachheit=algebraischer Vielfachheit ja garnicht gilt ... verwirrt

In der Tat. Von daher ist dein Vorgehen bei der Bestimmung der Eigenräume grundsätzlich mal zu hinterfragen.

Und bin wieder weg.

29.07.2014, 10:21

rechtwinklig

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RE: Diagonalisierung
Alles klar, ich habe das ganze jetzt mal über ein LGS durchgezogen und erhalte dann die Eigenräume

$\begin{eqnarray*} span(\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} span(\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} \\ 1\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ und die haben beide dimension 1 also passt es doch. Danke! Wink

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