Globale Extrema diskutieren

29.07.2014, 13:58

Marvoo

Globale Extrema diskutieren

Meine Frage:
Hallo,
Aufgabe lautet wie folgt :
Diskutieren sie die lokalen und globalen Extrema der folgenden Funktion:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^3\Rightarrow \mathbb R ,f(x,y,z):=(x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2 \end{eqnarray*}$

Als lokaes Extrema habe ich einen TP bei p1=(1,-2,-1), wie ich dieses brechne verstehe ich auch.
Aber beim globalen Extrema komm ich nicht weiter.

Meine Ideen:
Beim glob. Extrema muss ich doch die funktion genrell(bis zu den rändern) und nicht nur in einem bestimmten Intervall betrachten oder?
Aber wie genau mache ich das? Gefühlt habe ich oben schon das Globale berechnet da ich garkein Intervall gegeben habe.

ich hoffe ihr könnt mir helfen smile

MfG Marvoo

29.07.2014, 14:06

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ hat keine Ränder. Genau am Punkt, den du gefunden hast, nimmt f das globale Minimum 0 an (kleiner als 0 können Quadrate nicht werden).

29.07.2014, 14:28

Marvoo

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danke erstmal.
muss ich das nicht noch rechnerisch beweisen?
und was genau sagt mir dieses $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?
In den folgenden aufgaben habe ich $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stehen
was genau sagt mir das denn dann?

29.07.2014, 14:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Marvoo
muss ich das nicht noch rechnerisch beweisen?

Du kannst das Argument von Elvis nehmen oder natürlich auch das übliche Verfahrenn anwenden: kritische Punkte = Nullstellen des Gradienten bestimmen, ...

Zitat:

Original von Marvoo
und was genau sagt mir dieses $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?
In den folgenden aufgaben habe ich $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stehen
was genau sagt mir das denn dann?

Daß eben R³ bzw. R² auf R abgebildet wird. Augenzwinkern

Ich schieb das mal in die Analysis.

29.07.2014, 15:03

Hasgar

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Auch wenn es hier ziemlich leicht ist, sollte man trotzdem kurz auch etwas zum globalen Maximum sagen, wenn die Aufgabenstellung so allgemein "Diskutieren Sie" ist.

29.07.2014, 15:22

Marvoo

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ok.
nochmal eine andere frage zur nächsten aufgabe.
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^3\Rightarrow \mathbb R ,f(x,y):=\frac{1}{6} x^3-x+\frac{1}{4} xy^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} =\frac{1}{3} x^2-1+\frac{1}{4}y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy}=\frac{1}{2}xy^2 \end{eqnarray*}$

hier habe ich ja bei den ableitungen noch beide variblen drin wie gehe ich da weiter vor?

29.07.2014, 15:33

klarsoweit

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Beide partielle Ableitungen sind falsch. Die solltest du erstmal korrekt haben. smile

29.07.2014, 15:37

Hasgar

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und die Abbildung sieht so aus $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
(beim latex Code \rightarrow verwenden und nicht \Rightarrow)

31.07.2014, 13:57

Marvoo

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ach sorry was hab ich denn da gemacht Big Laugh

hier so sollten die richtig sein.

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = x^2-1+\frac{1}{4} y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} = \frac{1}{2} xy \end{eqnarray*}$

ich hab halt keine ahnung wie ich damit weiter verfahren muss wenn noch beide variablen drin sind.
das ist doch jetzt eigentlich mein kritischer pkt. oder?
und in der Hessematrix sind ja dann auch noch variablen vorhanden.

wäre cool wenn ihr mir sagen könnt wie ich ab hier weiter machen muss.
mfg smile

31.07.2014, 14:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Marvoo
hier so sollten die richtig sein.

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = x^2-1+\frac{1}{4} y^2 \end{eqnarray*}$

Das stimmt leider immer noch nicht. traurig

Zitat:

Original von Marvoo
das ist doch jetzt eigentlich mein kritischer pkt. oder?

Nein, das sind jetzt die partiellen Ableitungen, die zusammen den Gradienten bilden. Die kritischen Punkte sind die Nullstellen des Gradienten. smile

31.07.2014, 16:00

Marvoo

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oh sorry keine ahnung was los ist unglücklich

also $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} =\frac{1}{2} x^2-1+\frac{1}{4} y^2 \end{eqnarray*}$

hoffe jetzt aber Big Laugh

.

hab gerade nochmal nachgedacht.
Ich habe ja jetzt den Gradienten also einemal die 1. Ableitung nach x und einmal nach y.
Da doch beide Ableitungen die Variblen x und y enthalten könnte ich doch zB. die eine nach y umformen und in die andere einsetzen und dann mit dem errechneten x
das y herausbekommen oder?

bei $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} =\frac{1}{2} xy \end{eqnarray*}$ seh ich doch eigentlich schon das x oder y null sind oder?

31.07.2014, 16:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Marvoo
bei $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} =\frac{1}{2} xy \end{eqnarray*}$ seh ich doch eigentlich schon das x oder y null sind oder?

Genau. Aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} xy = 0 \end{eqnarray*}$ folgt x=0 oder y=0 . Mit diesen beiden Fällen kann man die 1. Gleichung untersuchen.

31.07.2014, 16:34

Marvoo

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ok alles klar als krit. pkt. habe ich jetzt p1(0,-2) und p2(0,2) sind das alle?

Meine Hesse Matrix ist $\begin{eqnarray*} Hf=\begin{pmatrix} x & \frac{1}{2} y \\ \frac{1}{2} y & \frac{1}{2} x \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich da jetzt meine 2 punkte einsetze bekomme ich bei der det für beide -1 herraus. Was genau sagt mir das jetzt?
habe ich da 2 HP? weil da müsste ja eigentlich auch noch ein TP zwischen sein oder?

01.08.2014, 08:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Marvoo
ok alles klar als krit. pkt. habe ich jetzt p1(0,-2) und p2(0,2) sind das alle?

Du hast den Fall y=0 vergessen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Marvoo
wenn ich da jetzt meine 2 punkte einsetze bekomme ich bei der det für beide -1 herraus. Was genau sagt mir das jetzt?

Entscheidend für einen Hoch- oder Tiefpunkt ist die Definitheit der Matrix. Feststellen kannst du dieses unter anderem mit den Vorzeichen der Eigenwerte.

04.08.2014, 09:54

Marvoo

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ok alles klar ich denke es klappt jetzt Augenzwinkern

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