Äquivalenzkette LA

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Carl Sagan Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzkette LA
Hi Leute, ich habe in meinen Unterlagen eine kleine Äquivalenzkette von Aussagen stehen die sich um Endomorphismen dreht. Ich schreibe sie einmal auf.

1)
2) ist invertierbar
3) ist kein Eigenwert
4)
5)
6)
7) Zeilen von sind linear unabhängig
8) Spalten von sind linear unabhängig
9) Die lineare Abbildung ist bijektiv
10) Das LGS ist für alle b eindeutig lösbar.

Nun ist die Sache, ich schreibe am Freitag eine Klausur in LA und bereite mich da gerade fleißig drauf vor. Nun habe ich diese Äquivalenzkette schonmal im Kopf. Nun frage ich mich allerdings, wenn ich eine quadratische Matrix z.B. erhalte und ich zeigen soll das sie injektiv ist oder das sie surjektiv ist, oder was auch immer, kann ich dann quasi einfach die Determinante berechnen und wenn diese ungleich 0 ist sagen das die lineare Abbildung injektiv,surjektiv und damit auch bijektiv ist? ich meine einfach nur zu sagen demnach ist die lineare Abbildung bijektiv ist ziemlich kurz und finde die Argumentation auch noch nicht stichhaltig genug. Ehrlich gesagt verstehe ich auch noch nicht alle Zusammenhänge warum aus darauß folgt das die Abbildung bijektiv ist.

Kann mir da jemand ein paar Tipps geben? Ich würde mich darüber sehr freuen. smile

Liebe Grüße! Wink
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzkette LA
Entscheidend ist eher der Punkt 2, nämlich daß A invertierbar ist. Dann läßt sich die Gleichung A*x = y für jedes y nach x auflösen. smile
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzkette LA
Also wenn Du zeigst, dass die Determinante ungleich 0 ist kannst Du in der Klausur einfach daraus folgern, dass die lineare Abbildung bijektiv ist und dies ist auch eine absolut legitime Argumentation.

Bei Mathematik Klausuren darf man grundsätzlich immer die Sätze aus der Vorlesung ohne Begründung verwenden, sofern in der Aufgabe nichts spezielles dazu steht.
Carl Sagan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzkette LA
Also wenn alles mit der Invertierbarkeit fällt habe ich es glaube soweit verstanden. Es gibt ja den Satz das eine Funktion invertierbar ist wenn sie bijektiv ist. Wenn man das jetzt mal analog betrachtet ist das quasi nichts anderes?

Das heißt dann ja da A invertierbar ist muss A bijektiv sein. Da A bijektiv ist muss A injektiv und surjektiv sein und da A bijektiv ist gilt auch das sie Gleichung quasi eindeutig lösbar ist? demnach würde darauß auch folgern das A vollen Rang hat. Irgendwie ergibt das jetzt sinn. smile
Ist das bei reellen Funktionen auch so wenn eine Abbildung bijektiv ist das sie dann eundeutig lösbar ist? Falls ja sind das ja quasi alles äquvalente Aussagen zur ganz normalen Funktionentheorie. smile

Also die Aussagen habe ich aus einem Buch und nicht direkt aus meinen Vorlesungsunterlagen. Deswegen bin ich mir auch nicht so sicher ob ich damit auch meine Argumentation durchführen kann. Wie seht ihr das?

Gruß! Wink
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bei Funktionen ist es auch so, dass bei Bijektivität die Gleichung f(x)=y eindeutig lösbar ist bei gegebenem y. Bijektivität bedeutet ja nichts anderes, als das jedem x Wert genau ein y Wert zugeordnet wird und daher kann man auch eindeutig den Rückweg gehen.
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Sätze aus Büchern darf man bei Klausuren nicht verwenden und müssen in der Klausur bewiesen werden, falls man sie verwenden möchte. Meistens macht das aber keinen Sinn.
 
 
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hasgar
Ja, bei Funktionen ist es auch so, dass bei Bijektivität die Gleichung f(x)=y eindeutig lösbar ist bei gegebenem y. Bijektivität bedeutet ja nichts anderes, als das jedem x Wert genau ein y Wert zugeordnet wird und daher kann man auch eindeutig den Rückweg gehen.


Das ist nicht korrekt, denn das ist nur die Definition einer Funktion bzw. Zuordnung. Bei jeder Funktion wird jedem x aus X genau ein y aus Y zugeordnet.

Injektiv bedeutet

Surjektiv bedeutet

Die eindeutige Lösbarkeit aller y in Y ergibt sich daraus, dass ich wegen surjektiv für jedes y in Y ein x in X finde sodass f(x) = y und durch die injektivität ist dieses x eindeutig.

Selbst mit der injektivität ergibt sich ja schon, dass für jedes y im Bild die funktionsgleichung eindeutig lösbar ist.

EDIT:
Zitat:
Ja, bei Funktionen ist es auch so, dass bei Bijektivität die Gleichung f(x)=y eindeutig lösbar ist bei gegebenem y
Der Satz war schon korrekt, nur der zweite nicht. Augenzwinkern
Carl Sagan Auf diesen Beitrag antworten »

Ja schon klar, ich meine wir haben ja auch die ganzen Begriffe eingeführt bloß nicht diese Äquivalenzkette aufgestellt. Das man seine eigenen Schlüsse aus den Definitionen zieht ist aber doch erlaubt oder nicht? sonst könnte ich ja die Äquivalenzkette nicht benutzen. unglücklich
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Alles, was du beweisen kannst, ist erlaubt.

Die Argumentation wäre etwa: Die Determinante ist eine alternierende Multilinearform, . Das kann man unterschiedlich definieren, aber ihr habt ja hoffentlich gezeigt, dass es gleichwertig ist, zu fordern, dass diese bei Vertauschung ihr Vorzeichen ändert, und, dass sie Null ist genau dann, wenn die Argumente linear abhängig sind. Nun ist für eine euadratische Matrix A bzw. einen Endomorphismus (die Determinante ist eine spezielle "Determinantenfunktion", so hieß das bei uns in der Vorlesung). Folglich ist sie genau dann ungleich null, wenn die Bilder der Basisvektoren linear unabhängig sind. Dann sind sie aber aus Dimensionsgründen eine Basis. Daraus kann auch schon eine Umkehrabbildung konstruiert werden. Die Frage ist halt, welche Sätze ihr hattet, aber es ist auch nicht schwer zu beweisen, dass ein Homomorphismus genau dann
- injektiv ist, wenn er eine Basis auf ein linear unabhängiges System abbildet
- surjektiv ist, wenn er eine Basis auf ein Erzeugendensystem abbildet
- bijektiv ist, wenn er eine Basis auf eine Basis abbildet.

Es gilt insbesondere: Für Endomorphismen ist injektiv, surjektiv und bijektiv dasselbe. Ebenso für beliebige Abbildungen zwischen endlichen Mengen der selben Mächtigkeit.

EDIT: Noch eine Bemerkung... dass eine Abbildung jedem x-Wert einen y-Wert zuordnet, heißt, dass sie injektiv ist. Bijektiv heißt zusätzlich, dass der Wertebereich schon minimal ist. Z.B. ist nicht bijektiv, schon. Für lineare Algebra ist der Unterschied nicht wirklich wichtig. Für Ana manchmal schon.
Carl Sagan Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich danke euch. Damit sollte eigentlich alles geklärt sein.

Schöne Grüße Wink
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jayk
EDIT: Noch eine Bemerkung... dass eine Abbildung jedem x-Wert einen y-Wert zuordnet, heißt, dass sie injektiv ist. Bijektiv heißt zusätzlich, dass der Wertebereich schon minimal ist. Z.B. ist nicht bijektiv, schon. Für lineare Algebra ist der Unterschied nicht wirklich wichtig. Für Ana manchmal schon.



Totaler Quatsch!

ist nicht bijektiv sondern nur surjektiv und nicht injektiv.

Zitat:
dass eine Abbildung jedem x-Wert einen y-Wert zuordnet, heißt, dass sie injektiv ist


Habe ich oben schon mal geschrieben, dass gilt für jede Funktion!

Nochmal Wiederholung für injektiv und surjektiv:

Zitat:
Injektiv bedeutet

Surjektiv bedeutet
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DerJFK
Totaler Quatsch!


Ja, richtig (autsch, sorry). Ich hatte nur schnell ein Beispiel für surjektiv und nicht gesucht und dann einfach gedacht "klar, x² macht alles positiv", natürlich ist das Quatsch. Die eine Zeile hätte aber auch schon gereicht, denn ich denke, jeder hier sieht, dass das nicht injektiv, geschweige denn bijektiv ist. Der Punkt dürfte aber trotzdem klar geworden sein.

Richtiges Beispiel: . Einschränken auf .
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Es war ja nicht nur das Beispiel falsch, sondern auch die Aussage:

Zitat:
dass eine Abbildung jedem x-Wert einen y-Wert zuordnet, heißt, dass sie injektiv ist.


Ein paar Einträge weiter oben hatte ich schon mal gesagt, dass das nichts mit injektiv und surjektiv zu tun hat. Für jede Funktion/Abbildung f: X -> Y gilt:

Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet.

Deshalb ist mir nicht klar, ob das tatsächlich jedem klar ist. Hat mich eben gewundert, warum eine falsche Aussage zwei Beiträge später wiederholt wird Augenzwinkern

Verstehe auch nicht ganz, warum in der Linearen Algebra die Unterscheidung zwischen bijektiv, injektiv und surjektiv nicht so wichtig sein soll und in Ana manchmal?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bijektiv heißt zusätzlich, dass der Wertebereich schon minimal ist.

Besser: Ist eine injektive Abbildung gegeben, so ist bijektiv.

Zitat:
Verstehe auch nicht ganz, warum in der Linearen Algebra die Unterscheidung zwischen bijektiv, injektiv und surjektiv nicht so wichtig sein soll und in Ana manchmal?

Verstehe ich auch nicht, gerade da diese Aussage für die Äquivalenzkette die zu zeigen ist, enorm hilfreich ist.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

@bijektion: wenn du schon "besser:..." schreibst, dann bitte ordentlich Augenzwinkern Du hast nicht definiert was deine neue Funktion überhaupt machen soll.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

@Nofeykx: Zufrieden?
Nofekyx Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen davon, dass ich nicht weiß, woher du nimmst, dass deine Formulierung nun besser sein soll, ja. Ich halte sie für gleichwertig, ist aber für den Thread ja eigentlich nicht von Belang.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde diese Formulierung präziser, aber da mag Geschmackssache sein.
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