Vektorfeld X im IR^2

30.07.2014, 13:21	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorfeld X im IR^2 Hallo, ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich anfangen soll. Die Aufgabe lautet: Geben Sie ein Vektorfeld im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ an, dessen Stromlinien Kreise um den Punkt (1, 2) sind. Freue mich auf Tips :-) Viele Grüße babelon
31.07.2014, 11:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es mit einer reellen Darstellung von $\begin{eqnarray} f(z)=exp(z)+1+2i \end{eqnarray}$ ?
31.07.2014, 12:07	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für Deine Antwort, Elvis Unser Professor möchte, dass wir die Dinge in Vektoren schreiben. Bei uns geht es um Systeme von DifferentialGLeichungen. $\begin{eqnarray} c'(t) = X( \; c(t)\; ) \end{eqnarray}$ ich habe das Feld bereits bei einer Rotation um den Ursprung beschrieben. $\begin{eqnarray} \forall v= \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) \in \mathbb{R}^2: \quad X(v)= X( \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c}-y\\x\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Danach habe ich noch eine Kurve und deren Ableitung erstellt $\begin{eqnarray} c(t) = \gamma(t) = \left( \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right) \qquad \text{ und } \qquad c'(t) = \left( \begin{array}{c} - \sin(t)\\ \cos(t) \end{array} \right) \end{eqnarray}$ Jetzt suche ich nach der Darstellung mit einer Verschiebung. Ich fühle mich überhaupt nicht sicher in dieser Materie und weiß nicht, ob es völlig einfach ist, indem man einfach die Kurve um eine Verschiebung erweitert, oder ob die Verschiebung in die Vektoren eingerechnet werden muss Ich weiß nicht, wie ich X und c(t) bei der gegebenen Verschiebung in den Punkt (1,2) aufschreibe.
31.07.2014, 16:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Drehung um den Ursprung sind wir uns einig. Im komplexen macht das die e-Funktion $\begin{eqnarray} e^z=re^{i\phi}=r(cos(\phi)+i\cdot sin(\phi)) \end{eqnarray}$ . Die Drehung um $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ müsste dann $\begin{eqnarray} e^{z-z_0}+z_0 \end{eqnarray}$ sein, denn damit verschiebt man den Punkt $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , dreht um den Ursprung und verschiebt zurück. Also mein Vorschlag: $\begin{eqnarray} f(z)=exp(z-1-2i)+1+2i \end{eqnarray}$ . Sieht aus, als trete der Punkt 2 mal auf. Hoffentlich hilft das weiter ...

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