Stetigkeit von f(x,y) in (0,0)

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omatthias Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von f(x,y) in (0,0)
Meine Frage:
Hallo zusammen

Es geht um folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Stetigkeit im Nullpunkt. Es sei stets f(0,0) = 0 und für f(x,y) "ungleich" (0,0)

in der Übung wurde uns beigebracht, solche Aufgaben mit einer Substitution zu lösen: wir sollten
x = r * cos(phi) und y = r * sin(phi) setzen.

Meine Ideen:
Dies habe ich getan, und am Ende kriege ich heraus, dass diese Funktion stetig sei, denn man erhält nach auflösen und ausklammern von r

und dahinter terme mit Sinus und Cosinus. wenn man die r's wegkürzt, bleibt im Zähler ein r über und dieses strebt dank dem lim(x->0) -> 0, daraus folgt, der Grenzwert ist wie der Funktionswert = 0. (Laut Professor und laut Skript, sowie laut Übung sollte die Funktion nun stetig sein.)

Wenn ich jetzt aber für x = x und y = x^2 einsetze, dann steht dort:


habe ich damit den Institutsbeweis ad absurdum geführt?
Und vor allem, wenn ich nun die Stetigkeit nachweisen soll in der Klausur, wie verhalte ich mich da am besten?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist tatsächlich unstetig im Nullpunkt, man wähle etwa die Folge (also ähnlich wie du es gemacht hast).

Zeig doch mal, worauf du mit der Substitution kommst.
omatthias Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe da nach der Substitution raus:

f ( r*cos(phi) , r*sin(phi) ) = (r * cos^2(phi) * sin(phi)) / (sin^2(phi) + r^2 * cos^4(phi))

und wenn r --> 0 geht, dann wird der ganze Zähler Null und im Nenner steht nur noch sin^2(phi)....
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du darauf, dass das gegen konvergiert? Dort steht doch nach substitution von und : .

Was ist mit dem Term ?

EDIT: Es ist richtig, dass ist?
omatthias Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
EDIT: Es ist richtig ?


sry, das habe ich jetzt nicht verstanden, was willst du mir mit, "es ist richtig [...] ?" sagen?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ob das die zu betrachtende Abbildung ist. Nur um sicher zu gehen.
 
 
omatthias Auf diesen Beitrag antworten »

genau, um die geht es.

so, jetzt wieso ich glaube dass der zweite Term irrelevant ist, wenn der erste schon = 0 ist, weil r --> 0, und im zweiten Term

wäre dann ja wieder das r im Nenner --> 0
daraus folgt



für ein festgelegtes sagen wir ungleich k* pi/2 sollte dabei doch immer ein Wert herauskommen.

wenn ich mich nicht täusche, geht man durch diese Methode doch auf Geraden zum Nullpunkt, die "Lösung" erfordert aber doch eine "komplexere Annäherungsweise" an den Nullpunkt - hoffentlich kann man das so sagen ;-)
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer Frage geht das so: Ist das richtig ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
für ein festgelegtes sagen wir ungleich k* pi/2 sollte dabei doch immer ein Wert herauskommen.

Da haben wir auch schon das Problem; der Term müsste für alle beschränkt sein.
omatthias Auf diesen Beitrag antworten »

OK. das hab ich jetzt soweit auch verstanden.
Aber meine Frage ist damit noch nicht ganz klar beantwortet, zumindest nicht für mich :P
heißt das jetzt, ich kann sorgenfrei den Institutsbeweis mit den Polarkoordinaten immer verwenden, oder sollte ich lieber davon absehen, da dieser nicht korrekt ist. Und falls letzteres der Fall ist, bliebe meine Ausgangsfrage, wie weise ich dass dann am klügsten nach?

edit: übrigens Danke schonmal
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
heißt das jetzt, ich kann sorgenfrei den Institutsbeweis mit den Polarkoordinaten immer verwenden, oder sollte ich lieber davon absehen, da dieser nicht korrekt ist.

Wieso ist der nicht korrekt?

Zitat:
wie weise ich dass dann am klügsten nach?

Was genau?
omatthias Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen die Funktion (oder irgendeine andere) wäre stetig. Wie würde ich dies nachweisen? Würde es ausreichen, wenn bei der Polarkoordinatenmethode für JEDES phi der gleiche Grenzwert herauskäme wie wenn man bspw x=y setzt?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Würde es ausreichen, wenn bei der Polarkoordinatenmethode für JEDES phi der gleiche Grenzwert herauskäme

Das müsste man dann präziser formulieren. Wenn die Stelle der Nullpunkt ist, dann muss für jedes gelten: ,
außerdem muss der Grenzwert gleichmäßig in sein.

Zitat:
wie wenn man bspw x=y setzt? ,

Das würde man aber nur machen, um zu zeigen, dass unstetig ist smile
omatthias Auf diesen Beitrag antworten »

aber nochmal zurück zu dem Beweis, phi = 1/2 * k * pi haben wir doch schon ausgeschlossen, weil ausprobiert, setze y=0 bzw. x=0 und wir haben die Fälle...
Diese sind also bereits geklärt und wir können phi ungleich k/2 * pi setzen!

oder irre ich mich?
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
Wenn die Stelle der Nullpunkt ist, dann muss für jedes gelten: .


Das ist falsch, und die Funktion aus dem Startbeitrag ist ein Gegenbeispiel. Dieser Grenzwert muss gleichmäßig in sein, nur die Existenz und Übereinstimmung mit dem Funktionswert für jedes reicht nicht.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

@Ungewiss: Du hast natürlich recht, das hab ich vergessen.
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