Lösungsintervall für Ungleichung finden

30.07.2014, 16:04

JohnnyM

Lösungsintervall für Ungleichung finden

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Ungleichung: $\begin{eqnarray*} |1+z|^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$
Ich möchte herausfinden, für welche z das gilt.

Meine Ideen:
Ich forme um:
$\begin{eqnarray*} |1+z|^2 = |1+Re(z)+ Im(z)|^2 = (1+Re(z))^2+(Im(z))^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$
Nun komme ich nicht mehr weiter. Kann mir jemand helfen?

30.07.2014, 16:08

klarsoweit

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RE: Lösungsintervall für Ungleichung finden

Zitat:

Original von JohnnyM
ich habe folgende Ungleichung: $\begin{eqnarray*} |1+z|^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

Da der Betrag immer positiv ist, ist das auch äquivalent zu $\begin{eqnarray*} |1+z| \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Und diese Ungleichung ist relativ simpel. Man muß sich ja nur klar machen, daß der Betrag den Abstand zweier komplexer Zahlen darstellt. smile

30.07.2014, 16:15

mYthos

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Setze Re(z) = x und Im(z) = y, dann folgt

$\begin{eqnarray*} (x + 1)^2 + y^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

Welches geometrisches Gebilde wird damit beschrieben? Die Lösungsmenge liegt innerhalb ...

mY+

EDIT: Zu langsam ..

30.07.2014, 16:30

JohnnyM

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Mit $\begin{eqnarray*} (x + 1)^2 + y^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ wird der Einheitskreis beschrieben. Also gilt das für alle z aus $\begin{eqnarray*} \overline{B_1(-1)} \end{eqnarray*}$ , also der abgeschlossene Einheitskreis um -1, oder?

30.07.2014, 21:18

mYthos

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Ja, so ist es.
Auch der Tipp von klarsoweit besagt den gleichen Sachverhalt.
Der Abstand $\begin{eqnarray*} \underline z - \underline {-1} \end{eqnarray*}$ der beiden Zeigerspitzen von z und -1 muss kleiner oder gleich 1 sein, anschaulich also im Inneren dieses Kreises um (-1; 0) mit r = 1 liegen.

mY+

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