Dachprodukt

30.07.2014, 16:34	Dachling	Auf diesen Beitrag antworten »
Dachprodukt Hoi, 2-formen sind definiert als $\begin{eqnarray} du^{j} \wedge du^{k}(v,w) = v^{j}w^{k}-v^{k}w^{j} = \begin{vmatrix} du^{j}(v) & du^{j}(w) \\ du^{k}(v) & du^{k}(w) \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Was ist aber wenn ich jetzt zwei konkrete 1-formen im $\begin{eqnarray} R^{3} \end{eqnarray}$ hab, z.B. $\begin{eqnarray} (2dx-3dy+dz)\wedge (dx+2dy-dz) \end{eqnarray}$ und das dann ausrechne $\begin{eqnarray} (2dx-3dy+dz)\wedge (dx+2dy-dz)=-7dy \wedge dx +3dz \wedge dx - dy \wedge dz= 7 dx \wedge dy + 3 dz \wedge dx + dy \wedge dz \end{eqnarray}$ Was ja das Kreuzprodukt zwischen $\begin{eqnarray} (2,-3,1)^{T} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (1,2,-1)^{T} \end{eqnarray}$ ist. Was hat das dann mit der Determinante zu tun? Wenn ich das Dachprodukt zwischen zwei 1-formen im $\begin{eqnarray} R^{2} \end{eqnarray}$ berechne dann kommt der Wert der Determinante raus $\begin{eqnarray} (2dx+4dx)\wedge (3dx+9dy) = -18 dx\wedge dy +12 dx \wedge dy = 6 dx \wedge dy \end{eqnarray}$ , aber bei 1-formen in $\begin{eqnarray} R^{3} \end{eqnarray}$ kommt nur das Kreuzprodukt raus. Bei quadratischen determinanten kann man sie ja ausrechnen aber da gibt es ja jetzt nur dieses Produkt. Bedeutet das das der Anteil der Fläche die an die $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ Ebene projeziert wird 7 beträgt, 3 an die $\begin{eqnarray} zx \end{eqnarray}$ Ebene und 1 an die $\begin{eqnarray} yz \end{eqnarray}$ Ebene? Gruß
31.07.2014, 14:51	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich lasse die Differenzial-Symbole "d" mal weg. ------------------------------------------------------------ Es ist leicht nachvollziehbar, dass man sich aus 2 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec u=(v^1\|v^2\|v^3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec w=(w^1\|w^2\|w^3) \end{eqnarray}$ wie folgt eine antisymmetrische Matrix $\begin{eqnarray} u^{ij} \end{eqnarray}$ basteln kann $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & v^1w^2-v^2w^1 & v^1w^3-v^3w^1 \\ v^2w^1-v^1w^2&0 & v^2w^3-v^3w^2 \\ v^3w^1-v^1w^3 & v^3w^1-v^2w^3 & 0 \end{pmatrix}}_{\text{antisymmetrische Matrix }u^{ij} } \end{eqnarray}$ Für diese spezielle 2-Form habt ihr das folgende Symbol eingeführt eingeführt $\begin{eqnarray} (u^i \wedge u^j) (v,w) \end{eqnarray}$ Durch dieses merkwürdige Symbol soll zum Ausdruck gebracht werden, dass die Matrixelemente $\begin{eqnarray} u^{ij} \end{eqnarray}$ antisymmetrisch sind und von den Vektoren $\begin{eqnarray} \vec u=(v^1\|v^2\|v^3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec w=(w^1\|w^2\|w^3) \end{eqnarray}$ abhängen. Wie jede nxn-Matrix kann man auch die obige antisymmetrische 3x3-Matrix als 2-Form auffassen. Offenbar sind alle 9 Matrixelemente 2x2-Derterminenten, wodurch gerade die Antisymmetrie sichergestellt wird, denn bei Spiegelung dieser Matrix an der Hauptdiagonalen ändert sich das Vorzeichen aller Elemente. In deinem konkreten Beispiel hast du keine variablen Indizes i,j, sondern feste Indizes. Folglich wird nur ein einziges dieser 9 Matrixelemente berechnet, welches man wieder auf die Gestalt einer 2x2-Determinante bringen kann (wie in der obigen 3x3-Matrix). $\begin{eqnarray} (2v^1-3v^2+1v^3)\wedge (1v^1+2v^2-1v^3) \end{eqnarray}$
01.08.2014, 01:31	Dachling	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Danke für die Antwort, hat geholfen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »