Differenzierbarkeit einer Funktion

30.07.2014, 18:03

Doctor Who

Differenzierbarkeit einer Funktion

Hallo Leute,

ich habe eine Frage zu angehängter Aufgabe.

Ich sehe ja das die Funktionen überall diffbar sind "also als Komposition diffbarer Funktionen", außer evtl. in den Punkten 0 und 2. Dazu kann ich ja den Differenzenquotienten betrachten. Sprich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2-} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} \end{eqnarray*}$

mit jeweils der entsprechenden Funktion des Intervalls. Also bei 2+ die obere der f(x) Funktion und bei 2- die mittlere. Nun wenn der Grenzwert beider "Formeln" derselbe ist, dann ist die Fkt. im Punkt 2 diffbar oder?

Ich komme jetzt bei beiden Betrachtungen auf "-6" als Grenzwert. Sprich es müsste ja diffbar im Punkt 2 sein. Nun würde ich gerne wissen ob ich in der "Lösung" die Intervalle anpassen muss. Sprich muss ich dann das zuvor angegeben x^3 + 2 >= 2 in >2 verändern? Weil mein Grenzwert ja nicht mit dem Wert zusammenpassen würde, sofern ich ihn in die Fkt. einsetze.?

Ebenfalls wurde in der Lösung nicht der obere Differenzenquotient genommen, sondern die Funktion mit h (falls ihr wisst was ich meine Big Laugh

). Die kommen damit aber auf 12 als GW. Spielt das eine Rolle? Sofern ihr nicht wisst was ich meine hänge ich gerne bei der Antwort die Lösung bei.

Vielen Dank Leute!!

30.07.2014, 18:42

bijektion

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Zitat:

mit jeweils der entsprechenden Funktion des Intervalls. Also bei 2+ die obere der f(x) Funktion und bei 2- die mittlere. Nun wenn der Grenzwert beider "Formeln" derselbe ist, dann ist die Fkt. im Punkt 2 diffbar oder?

Ja.

Zitat:

Ich komme jetzt bei beiden Betrachtungen auf "-6" als Grenzwert. Sprich es müsste ja diffbar im Punkt 2 sein. Nun würde ich gerne wissen ob ich in der "Lösung" die Intervalle anpassen muss. Sprich muss ich dann das zuvor angegeben x^3 + 2 >= 2 in >2 verändern? Weil mein Grenzwert ja nicht mit dem Wert zusammenpassen würde, sofern ich ihn in die Fkt. einsetze.?

Du müsstes $\begin{eqnarray*} f(2)=-6 \end{eqnarray*}$ setzen.

Zitat:

Ebenfalls wurde in der Lösung nicht der obere Differenzenquotient genommen, sondern die Funktion mit h (falls ihr wisst was ich meine Big Laugh ). Die kommen damit aber auf 12 als GW.

Geht es da um $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)-f(0)}{h} \end{eqnarray*}$ ?

30.07.2014, 18:48

Doctor Who

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Ja genau, und damit kommt man nicht auf -6 smile

30.07.2014, 18:52

bijektion

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Du untersuchst ja auch die Stelle $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)-f(0)}{h} \end{eqnarray*}$ deutet auf den Nullpunkt hin Augenzwinkern

30.07.2014, 19:39

Doctor Who

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Achso, man läuft bei h immer gegen 0? Ist eine Variante dann von Nachteil?

30.07.2014, 19:42

bijektion

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Zitat:

Achso, man läuft bei h immer gegen 0?

Nein

Für die Stelle $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ wäre es dann etwa $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \end{eqnarray*}$ .

31.07.2014, 08:10

Doctor Who

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Alles klar. Merci. D.h. beide Wege müssen zum gleichen führen..

D.h. also wenn ich wenn wie hier für x=2 kein Wert angegeben ist, und ich erhalte mit dem Limes von beiden Seiten an die 2 heran einen Grenzwert von z.B. -6, dann heißt dies, das die Funktion f stetig ist und stetig ergänzbar an der Stelle 2 mit Wert -6?

Wenn nun der Wert f(2) = -6 in meinem Intervall schon aufgeführt werden würde, dann würde man nur von Stetigkeit sprechen oder? Denn stetig ergänzt wurde er ja bereits?

31.07.2014, 11:44

bijektion

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Ja, aber wie meinst du denn das zweite?

31.07.2014, 11:51

Leopold

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Eine Zusammenstellung der möglichen Fälle bei diesem Aufgabentyp siehe hier.

01.08.2014, 12:15

Doctor Who

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passt merci.