Integralgrenzen bei Substitutions/Transformationsregel bei Integralen mehrerer Variablen

31.07.2014, 14:53	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralgrenzen bei Substitutions/Transformationsregel bei Integralen mehrerer Variablen Guten Tag, ich habe eine kurze Frage, wie man die Intervallgrenzen nach der Transformationsregel berechnet; Gegeben sei z.B. die klassische Aufgabe: $\begin{eqnarray} \int_{x^2+y^2} \! \int_{\leq 1} \! \sqrt{1+x^2+y^2} \, d(x,y) \end{eqnarray}$ Dies kann zumindest ich nicht so berechnen, also wende ich die Transformationsregel an: Setze: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} rcos(\phi) \\ rsin(\phi) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann ist die Determinante der Jacobimatrix: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} cos(\phi) & -rsin(\phi) \\ sin(\phi) & rcos(\phi)\end{vmatrix}=r \end{eqnarray}$ Und damit eine Lebesguesche Nullmenge und damit zulässig; Nun setze ich noch meine Substituion in meine Funktion ein und daraus wird: $\begin{eqnarray} \int \! \int \! r\sqrt{1+r^2} \, drd\phi \end{eqnarray}$ Das Problem sind nun die Intervallgrenzen; In diesem Beispiel ist es relativ klar, weil $\begin{eqnarray} x^2+y^2\leq 1 \end{eqnarray*}$ Der Einheitskreis ist; Also muss r von 0 bis 1 gehen und Phi von 0 bis 2 Pi; Damit ist der gesamte Einheitskreis offensichtlich erreichbar(und eben nicht mehr) Aber gibt es eine allgemeine Formel, wie ich Intervallgrenzen in solch einem Fall anpasse? Vielen Dank!!
31.07.2014, 18:49	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralgrenzen bei Substitutions/Transformationsregel bei Integralen mehrerer Variablen Habe gerade noch einen Fehler gefunden; Und damit ist die Determinante der Jacobimatrix ungleich 0 für alle x\ N, wobei N eine Lebesguesche Nullmenge ist und damit ist die Subistituion zulässig; So muss es natürlich heißen

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