Stabilität einer abgeschnittenen Parabel.

31.07.2014, 21:44

Dopap

Stabilität einer abgeschnittenen Parabel.

schneidet man die Parabel y=ax^2 mit y=c ( a,c>0 ) ab, entsteht eine 2 dimensionale Fläche.

Bei welchem c hat diese Fläche gerade noch im Grenzfall einen "stabilen" Stand auf der X-Achse ?

01.08.2014, 08:11

Bürgi

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RE: Stabilität einer abgeschnittenen Parabel.
Guten Morgen,

anhand der Anzahl der Besucher Deines Beitrags und den fehlenden Reaktionen hast Du Dir sicherlich auch schon gedacht, dass Deine Frage etwas unglücklich formuliert sein könnte.

Ich fange mal an:

1.

Zitat:

... entsteht eine 2 dimensionale Fläche.

Was ist das? Meintest Du eventuell eine plane Fläche?

2. Ich gehe davon aus, dass die für einen Stand notwendige Kraft senkrecht zur x-Achse wirkt. Stimmt das?

3. Die Parabel "sitzt" mit dem Scheitelpunkt auf der x-Achse auf. Da das angegebene Parabelsegment symmetrisch zur y-Achse angeordnet ist, befindet sich die Fläche (bei der angenommenen Richtung der wirkenden Kraft) im Gleichgewicht. Ohne zusätzliche Störung von Außen ist das System in Ruhe, allerdings in einem labilen Zustand.

4. "Stabiler Stand" interpretiere ich so, dass zusätzliche Kräfte auf die Fläche einwirken können, ohne dass eine Bewegung eintritt. Dieser Zustand ist bei dem von Dir angenommenen Parabelsegment nie gegeben.

Vielleicht postest Du einfach den genauen Wortlaut der Aufgabenstellung, dann braucht man nicht so viel anzunehmen und zu interpretieren .

01.08.2014, 10:56

Dopap

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Die Originalaufgabe kann ich nicht posten, da es meine Frage ist.

1.) gemeint ist das Parabelsegment.

2.) ja, Kraft ist parallel zur Y-Achse.

3.)4.) Nach einer infinitesimalen Kippung fällt das Segment in eine neue Lage um = labil.
Nach einer infinitesimalen ( oder auch einer etwas größeren ) Kippung kehrt das Segment von selbst wieder in die Normallage zurück = stabil.

vermutlich labil:

vermutlich stabil:

01.08.2014, 14:35

Huggy

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Wo genau liegt dein Problem?

Das Grundprinzip sollte dir klar sein. Lenkt man die Parabel um einen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gegenüber der Senkrechten aus, verlagert sich der Schwerpunkt der Parabelfläche und der Auflagepunkt verlagert sich. Ist die horizontale Verlagerung des Schwerpunktes größer als die horizontale Verlagerung des Auflagepunkt, vergrößert sich der Auslenkwinkel aufgrund der Schwerkraft, also Instabilität. Ist die horizontale Verlagerung des Schwerpunktes kleiner als die horizontale Verlagerung des Auflagepunktes, verringert sich der Auslenkwinkel aufgrund der Schwerkraft, also Stabilität. Der Rest ist ein wenig Rechnerei.

01.08.2014, 16:48

Dopap

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Schwerpunkt ist gut. Ich denke

$\begin{align*} y_S= \frac {\int_0^c \, y\sqrt {\tfrac y a}\dd y}{\int_0^c \, \sqrt {\tfrac y a} \dd y} =\tfrac 35 c \quad \rightarrow \quad S(0,\tfrac 3 5 c) \end{align*}$ ist richtig.

01.08.2014, 17:28

Huggy

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Das habe ich auch.

Es genügt übrigens, die Standardparabel $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Der Fall $\begin{eqnarray*} a \neq 1 \end{eqnarray*}$ lässt sich durch eine Skalentransformation darauf zurückführen.

01.08.2014, 19:10

Dopap

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gut, dann weiter:

So richtig glücklich wär' ich mit der Bahnkurve der Schwerpunktes. Ist diese konkav in x=0, dann liegt der S in einer Mulde, was dann ziemlich eindeutig für Stabilität spräche.

Die von Huggy vorgeschlagene Verschiebung des Drehpunktes, respektive S ist mir noch etwas suspekt, da der Ansatz der Rechnung noch unklar ist.

Meine Idee: Sei der Drehpunkt $\begin{align*} D(\epsilon , a\epsilon^2) \end{align*}$ , dann suche ich M, den Schnittpunkt der Normale in D mit der Y-Achse.

$\begin{align*} \binom x y= \binom {\epsilon }{a\epsilon^2}+\mu \binom {1}{\frac {-1}{2a\epsilon}} \end{align*}$

$\begin{align*} x=0 \quad \text {liefert} \quad \mu = -\epsilon \quad \Rightarrow \quad y_M=a\epsilon^2+\frac {1}{2a} \end{align*}$

für $\begin{align*} \epsilon \rightarrow 0 \end{align*}$ erhalten wir $\begin{align*} r=\frac {1}{ 2a} \end{align*}$ , den Krümmungsradius der Parabel im Scheitel.

Nun sollte für Stabilität $\begin{align*} y_M > y_S \end{align*}$ gelten, woraus $\begin{align*} c<\frac 5 3 a\epsilon^2+\frac {5}{ 6a} \end{align*}$ folgt.

Soweit meine Idee. Kommentare und Meinung sind stets willkommen. smile

01.08.2014, 20:56

Huggy

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Mein Ansatz ist einfach. Die reale Bewegung der Parabel ist ein Rollen auf der x-Achse. Diese Bewegung in eine neue Lage kann erzeugt werden durch eine Drehung um den Koordinatenursprung plus einer Translation. Die Translation ändert die Koordinatendifferenzen nicht, ist also irrelevant für die Stabilitätsfrage. Es genügt daher eine Drehung um den Koordinatenursprung mit dem Winkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ zu betrachten. Die Koordinaten eines Punktes nach der Drehung sind leicht zu bestimmen.

Die Koordinaten des Schwerpunkts sind schon bekannt. Also den einfach um den Winkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ drehen. Seine neue x-Koordinate sei $\begin{align*} x'_S \end{align*}$ .

Auflagepunkt nach der Drehung ist der Punkt auf der Parabel, der vor der Drehung den Steigungswinkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ hatte. Damit kann er leicht bestimmt und gedreht werden. Seine neue x-Koordinate sei $\begin{align*} x'_A \end{align*}$ .

Stabilität: $\begin{align*} x'_S < x'_A \end{align*}$

Instabilität: $\begin{align*} x'_S > x'_A \end{align*}$

02.08.2014, 09:15

Dopap

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gut, das werde ich mal versuchen.

Was ist mit meiner Rechnung ? brauchbar ? richtig ? falsch?

02.08.2014, 09:35

Huggy

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Mir war deine Idee nicht transparent genug. Es ergibt sich aber dasselbe Ergebnis wie bei meinem Rechengang, wenn man bei dir zum Schluss $\begin{eqnarray*} \epsilon = 0 \end{eqnarray*}$ setzt. Im Endeffekt ist immer der Rechengang vorzuziehen, den man sich selber ausgedacht hat.

02.08.2014, 09:49

Dopap

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fein, dann kann ich das mal vorläufig abhaken.

Besten Dank!

03.08.2014, 09:49

Bürgi

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RE: Stabilität einer abgeschnittenen Parabel.
Guten Morgen,
auch wenn Dopap das Problem abgehakt hat, möchte ich meine Überlegungen kurz darlegen:
Wie Huggy gezeigt hat, rollt die Parabel auf der x-Achse ab, wobei die x-Achse Tangente an die Parabel ist. Die Schwerkraft wirkt in Richtung der Normalen der Tangente.
Sei die Parabel
$\begin{eqnarray*} p(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
die obere Begrenzung des Parabelsegments $\begin{eqnarray*} y=c \end{eqnarray*}$
dann liegt der Schwerpunkt bei $\begin{eqnarray*} S\left(0,\frac35 c\right) \end{eqnarray*}$
und der Berührpunkt $\begin{eqnarray*} B\left(b,b^2\right) \end{eqnarray*}$

Die Gleichung der Normalen auf die Tangente im Punkt B lautet:

$\begin{eqnarray*} y = -\frac1{2b} x+b^2+\frac12 \end{eqnarray*}$

Draus folgt:
Ist $\begin{eqnarray*} b^2+\frac12 > \frac35 c \end{eqnarray*}$ gibt es ein linksdrehendes Drehmoment und die Parabel rollt nach links zurück. (grün)

Ist $\begin{eqnarray*} b^2+\frac12 < \frac35 c \end{eqnarray*}$ gibt es ein rechtsdrehendes Drehmoment und die Parabel rollt nach rechts zurück. (blau)

[attach]35041[/attach]

Die Ruhelage ergibt sich für
$\begin{eqnarray*} b^2+\frac12 = \frac35 c \end{eqnarray*}$

Aus dieser Gleichung lässt sich b in Abhängigkeit von c berechnen und aus der Normalensteigung der dazugehörende Drehwinkel.

03.08.2014, 11:22

Dopap

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potz blitz!

Ich wollte gerade meine Überlegungen etwas transparenter machen, wozu aber eine Skizze hilfreich gewesen wäre. Nun hat dies aber Bürgi freundlicherweise für mich übernommen.

Genau dies hatte ich gemeint ! Freude

Damit wäre auch die Anschlussfrage geklärt:

Wie weit kippt das Parabelsegment bei Instabilität um, bis eine Stabilitätslage erreicht ist ? Augenzwinkern

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Stabilität einer abgeschnittenen Parabel.

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