Totales Differential

02.08.2014, 15:31	n1234n	Auf diesen Beitrag antworten »
Totales Differential Meine Frage: Hallo, Und zwar habe ich eine Frage zu einer aufgabenstellung bezüglich des Totalen Differentials von $\begin{eqnarray} z=f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2} } \end{eqnarray}$ Und der Fragestellung: Bestimmen sie approximativ die Änderung sdes Funktionswertes im Punkt P(x,y)=(1,2) mithilfe von dz bei erhöhung der Variablen x um 0,03 und der Variablen y= 0,01. Was genau muss man da jetzt machen nachdem man das Totale differential hat? Ich hätte jetzt gedacht den Punkt 1,03 und 2,01 einsetzen und von dem Ergebnis von dem Punkt 1 und 2 subtrahieren.Hab allerdings keine Musterlösung und kann daher nicht kontrollieren ob mein ansatz stimmt. Meine Ideen: Mein Totales Differential: dz= -x(9-x²-y²)^(-3/2) dx + (-y)(9-x²-y²)^(-3/2) dy
02.08.2014, 16:39	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
zuerst mal die partiellen Ableitungen überprüfen... dein Vorschlag würde die exakte Änderung bedeuten. Du sollst aber approximativ mit dem totalen Differenzial arbeiten. edit: btw: hast du eine Vorstellung von der Form dieser Fläche im R^3 ?
02.08.2014, 17:22	n1234n	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, ein kleiner fehler. ist ^(-1/2) nicht -(3/2). Und da liegt ja mein Problem. Ich weiß nicht wie ich approximativ mit dem Totalen differential arbeite. Hab auch kein vernünftiges Beispiel gefunden
02.08.2014, 19:01	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
also, wenn du die Differentialsymbole durch kleine Zahlen ersetzt, dann gilt: $\begin{eqnarray} \Delta f(x,y) \approx \Delta z = \frac {\partial}{\partial x} f(x_0,y_0)\cdot \Delta x +\frac {\partial}{\partial y} f(x_0,y_0)\cdot \Delta y \end{eqnarray}$ nun und mit Zahlen: $\begin{eqnarray} \Delta z = \frac {\partial}{\partial x} f(1,2)\cdot 0.03 +\frac {\partial}{\partial y} f(1,2)\cdot 0.01 \end{eqnarray}$ wirklich kein Problem. Das Gebilde ist sozusagen eine Tangentialebene an f im Punkt P(1,2,f(1,2)). Die Kugeloberfläche wird in einem kleinen Bereich durch die Tangentialebene ersetzt. Formal ist die Tangentialebene das Taylorpolynom ersten Grades: $\begin{eqnarray} T_1(x,y,(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)+\nabla f(x_0,y_0)\cdot \binom {x-x_0}{y-y_0} \end{eqnarray}$
02.08.2014, 19:18	n1234n	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!
02.08.2014, 20:47	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
gern geschehen ! empfehl' uns weiter
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