Konvergenzradius der e-Fkt

03.08.2014, 11:46

Nick32

Konvergenzradius der e-Fkt

Hallo liebes Board, wieder mal eine Verständnisfrage:

Die Aufgabenstellung lautete:
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{x^k}{k!}) \end{eqnarray*}$ . Die Lösung ist $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .
Der Konvergenzradius der Potenzreihe mit $\begin{eqnarray*} ak= x^k/k! \end{eqnarray*}$ ergibt sich nach dem Quotientenkriterium als unendlich. Mathematisch verstehe ich also wie man auf den Konvergenzradius kommt.

Könnte ich den Konvergenzradius nicht auch wie folgt berechnen: $\begin{eqnarray*} x^k/k!=e^x \end{eqnarray*}$

Will ich dort den Konvergenzradius berechnen passiert folgendes: $\begin{eqnarray*} R = \lim_{k \to \infty } \frac{e^x}{e^x+1}=\frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$ . Oder lasse ich hier x gegen Unendlich laufen? Dann kommt auch hier unendlich raus. Aber in dem Fall wäre der Konvergenzradius ja von x abhängig.

Und ehrlich gesagt habe ich generell noch nicht so ganz verstanden, was der Konvergenzradius mir sagt. (Ja, in diesem Bereich konvergiert die Potenzzreihe. Aber was sagt mir das? Warum konvergiert die Potenzreihe von e^x für alle Werte? Wenn ich mir die Potenzreihe anschaue(Entwicklungspunkt e^1: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty e^k*(x-e^1)^k \end{eqnarray*}$ : Wenn ich mir diese "Reihe" jetzt anschaue handelt es sich nichtmal um eine Nullfolge, sondern um das komplette Gegenteil. Nicht mal das notwendige Kriterium für Konvergenz einer Reihe ist erfüllt?! Wie ihr seht, verstehe ich es noch nicht ganz. Ich weiß auch nicht genau was das x in der Potenzreihe mir zu sagen hat.

Vielen Dank für eure Hilfe smile

EDIT: Eben war etwas mit der Indizierung falsch! Jetzt sollte die Frage klarer sein!

03.08.2014, 12:02

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius der e-Fkt

Zitat:

Original von Nick32
Könnte ich den Konvergenzradius nicht auch wie folgt berechnen: $\begin{eqnarray*} x^k/k!=e^x \end{eqnarray*}$

Das e^x ist der Wert der gesamten Reihe und nicht ein einzelner Summand davon.

Zitat:

Original von Nick32
Wenn ich mir die Potenzreihe anschaue(Entwicklungspunkt e^1: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty e^k*(x-e^1)^k \end{eqnarray*}$

Hier fehlt das k! im Nenner.
EDIT: Vermutlich meinst du den Entwicklungspunkt 1. Dann stimmt die Reihe zwar immer noch nicht, aber mit Entwicklungspunkt e wird es richtig spaßig. smile

Zitat:

Original von Nick32
Ich weiß auch nicht genau was das x in der Potenzreihe mir zu sagen hat.

Das x ist im Grunde die Funktionsvariable, wie z.B. bei f(x)=x² . smile

03.08.2014, 12:29

Nick32

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RE: Konvergenzradius der e-Fkt

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Nick32
Könnte ich den Konvergenzradius nicht auch wie folgt berechnen: $\begin{eqnarray*} x^k/k!=e^x \end{eqnarray*}$

Das e^x ist der Wert der gesamten Reihe und nicht ein einzelner Summand davon.

Ok, klarsoweit Augenzwinkern

EDIT: Stellt sich die Frage zu dem Konvergenzradius. Warum ist der Konvergenzradius von e^x unendlich? was bedeutet das anschaulich?
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } e^x = \infty \end{eqnarray*}$ und somit keineswegs "konvergent".

Zitat:

Original von Nick32
Wenn ich mir die Potenzreihe anschaue(Entwicklungspunkt e^1: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty e^k*(x-e^1)^k \end{eqnarray*}$

Hier fehlt das k! im Nenner.

Warum kommt dort denn ein k! in den Nenner?

Angenommen ich wollte jetzt hier Konvergenz zeigen:
Mit dem Quotientenkriterium ergibt sich leicht:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{k+1}*(x-e)^k*k!}{(k+1)!*e^k*(x-e)^k}= \frac{(x-e)}{k+1} \end{eqnarray*}$ . Der $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{(x-e)}{k+1}=0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} < 1 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Konvergenz

Angenommen ich will es mit dem Majorantenkriterium zeigen(habe da teilweise Probleme):
Ich suche eine geeignete Majorante: $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ }
Soweit so gut, ich komme auf keine wirklich geeignete Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^k*(x-e)^k}{k!} \leq \frac{e^{x*k}}{k!} \end{eqnarray*}$
Jetzt habe ich aber im Zähler eine Funktion die ebenfalls von k abhängt. Ich kann hier also nicht nach dem Majorantenkriterium folgern, dass Konvergenz vorliegt. Habt ihr einen Tipp? smile

Danke

03.08.2014, 18:20

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius der e-Fkt

Zitat:

Original von Nick32
EDIT: Stellt sich die Frage zu dem Konvergenzradius. Warum ist der Konvergenzradius von e^x unendlich? was bedeutet das anschaulich?

Der Konvergenzradius bezieht sich auf die Menge der x, für die die Reihe konvergiert, und ist der maximale Abstand dieser x zum Entwicklungspunkt x_0. Ist dieser maximale Abstand nicht endlich, so sagt man, daß der Konvergenzradius unendlich ist. Anders gesagt: die Reihe konvergiert für jedes reelle x.

Zitat:

Original von Nick32

Zitat:

Original von Nick32Wenn ich mir die Potenzreihe anschaue(Entwicklungspunkt e^1: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty e^k*(x-e^1)^k \end{eqnarray*}$

Hier fehlt das k! im Nenner.

Warum kommt dort denn ein k! in den Nenner?

Da hilft ein Blick auf die Taylorreihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x - x_0)^k \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Nick32
Angenommen ich wollte jetzt hier Konvergenz zeigen:
Mit dem Quotientenkriterium ergibt sich leicht:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{k+1}*(x-e)^k*k!}{(k+1)!*e^k*(x-e)^k}= \frac{(x-e)}{k+1} \end{eqnarray*}$ . Der $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{(x-e)}{k+1}=0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} < 1 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Konvergenz

Eben fragst du noch, wieso da ein k! in den Nenner kommt, und auf einmal ist es da.

Außerdem heißt es richtig: $\begin{eqnarray*} \frac{e^{k+1}*(x-e)^{k+1}*k!}{(k+1)!*e^k*(x-e)^k}= \frac{e(x-e)}{k+1} \end{eqnarray*}$

Der rechte Term konvergiert für jedes x für k gegen unendlich gegen 0. Somit konvergiert die Reihe für jedes x. smile

03.08.2014, 19:28

mitleser

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würde hier nicht einfach das
r=lim abs(an/an+1) benutzen.

r=lim abs(k+1)=unendlich

04.08.2014, 08:45

klarsoweit

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@mitleser: ganz ehrlich, auf einen solch minimalistischen Beitrag, der keinen Zusammenhang zu den vorigen Beiträgen erkennen läßt, können wir hier gerne verzichten. geschockt

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Konvergenzradius der e-Fkt

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