Funktion mehrerer Variablen - Verschiedenes

04.08.2014, 15:08

Duinne

Funktion mehrerer Variablen - Verschiedenes

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe hier eine riesen Aufgabe, in die ich überhaupt nicht hinein finde. Ich benötige wirklich Hilfe.

1. Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} z=f\left(x,y\right)=ln\left(x^{2}-y^{2} \right) \end{eqnarray*}$
Geben Sie den (größtmöglichen) Definitionsbereich der Funktion an, und skizzieren
Sie ihn in der (x,y)-Ebene.
Stellen Sie mittels Grobskizze die Isoklinen für konstantes z in der xy-Ebene
für z = 0, z = ln4, z = ln5, z = - ln4 dar.
Betrachtet wird im Folgenden die Funktion an der Stelle x = 3, y = 2.
a) Geben Sie das totale Differenzial dz von f an der Stelle (3; 2) an.
b) Bestimmen Sie damit näherungsweise die Funktionswertänderung,
wenn sich x von 3 auf 3,2 und y von 2 auf 1,9 ändert.
Vergleichen Sie mit der exakten Funktionswertänderung.
c) Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion an der Stelle (3; 2) in der
durch die Änderungen von x und y aus b) vorgegebenen Richtung.
d) Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion an der Stelle (3; 2) in der
Richtung des Winkels 35°.
e) Bestimmen Sie den maximal möglichen Wert der Richtungsableitung
an der Stelle (3; 2).
f) Bestimmen Sie den maximalen absoluten Fehler (die maximale Messunsicherheit),
wenn x = 3 mit der Toleranz von $\begin{eqnarray*} \pm 0,3 \end{eqnarray*}$ und
y = 2 mit der Toleranz von $\begin{eqnarray*} \pm 0,5 \end{eqnarray*}$ gemessen wurde.
g) Bestimmen Sie die Tangentialebene an die Fläche z = f(x,y) an der Stelle (3; 2).
h) Bestimmen Sie dy/dx für die implizit gegebene ebene Kurve f(x,y) ? ln5 = 0
an der Stelle (3; 2), geben Sie die zugehörige Tangentengleichung an und
zeichnen Sie die Tangente im xy-Koordinatensystem (in obige Skizze) .

Meine Ideen:
Definitionsbereich: $\begin{eqnarray*} x^{2}-y^{2}>0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich aus dem Logarhitmus. Ich würde auch sagen, das x² größer sein muss als y².

Grobskizze: den Graphen habe ich mir angeschaut. Anhand der Funktion konnte ich nicht erkennen, wie der Graph in etwas aussieht. Naja, es sieht wie eine Art Kleeblatt aus. Gestreckte Parabeln, die nach oben, unten und nach rechts und links geöffnet sind.

Isokline: Wenn ich das mit den Isoklinen richtig verstanden habe, muss ich nun für z den ersten Wert einsetzen, quasi so:

$\begin{eqnarray*} 0=ln \left(x^{2}-y^{2}\right) \end{eqnarray*}$

Und geht es schon los. Löse ich dann nach y auf, setze y=0 und berechne x?

Das wäre erstmal mein Anfang.
Kann mir hierbei jemand helfen?

Danke und Gruß
Duinne

04.08.2014, 15:19

Bernhard1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duinne
Ich würde auch sagen, das x² größer sein muss als y².

Kleiner Tipp: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$

04.08.2014, 15:21

Bernhard1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion mehrerer Variablen - Verschiedenes

Zitat:

Original von Duinne
Und geht es schon los. Löse ich dann nach y auf, setze y=0 und berechne x?

Die Isokline ist hier eine Funktion, also y(x) und die gilt es auszurechnen.
Tipp: Wann ist der natürliche Logarithmus gleich Null?

04.08.2014, 15:27

Duinne

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion mehrerer Variablen - Verschiedenes

Zitat:

Kleiner Tipp: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$

x muss größer sein y?

Zitat:

Tipp: Wann ist der natürliche Logarithmus gleich Null?

Der natürliche Logarithmus ist null, wenn die Klammer 1 ergibt.

Also meine erste Gleichung für z=0 wäre

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x^{2} -1} \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

04.08.2014, 15:42

Bernhard1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duinne
x muss größer sein y?

Nicht ganz: |x| > |y|. Das ist ein Unterschied, weil damit x und y auch negative Werte annnehmen dürfen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x^{2} -1} \end{eqnarray*}$

Eher $\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{x^{2} -1} \end{eqnarray*}$
Wieder die Betragsfunktion.

04.08.2014, 16:04

Duinne

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion mehrerer Variablen - Verschiedenes
Mhm, das hatte ich im Kopf. Aber ich bin immer furchtbar darin, dass mathematisch aufzuschreiben. Vielen Dank!
Die nächste Funktion für z= ln(4) wäre dann dementsprechend

$\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{x^{2}-4 } \end{eqnarray*}$

usw.

zu a) totales Differential: Ich denke das es so funktioniert

$\begin{eqnarray*} dz=\int \! ln\left(x^{2}-y^{2} \right) \, dx +\int \! ln\left(x^{2}-y^{2} \right) \, dy \end{eqnarray*}$

Also integrieren und anschließend x=3 und y=2 einsetzen.
Korrekt?

04.08.2014, 16:18

Bernhard1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duinne
zu a) totales Differential: Ich denke das es so funktioniert

Nein, das geht einfacher. Falls f stetig und differenzierbar, gilt prinzipiell:

$\begin{eqnarray*} dz = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy \end{eqnarray*}$

Du musst also "nur" die zwei partielllen Ableitungen ausrechnen. Dann darf man das dx und dy durch $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$ ersetzen und bekommt damit die gewünschte Näherungsformel.
MfG

16.08.2014, 13:14

Duinne

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion mehrerer Variablen - Verschiedenes
Hallo Bernhard1!

Vielen Dank für deine Antwort! Und sorry, dass ich erst jetzt wieder zu meinem Problem komme.

Ich habe jetzt Folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} dz=\frac{2x}{x^{2}-y^{2} }\Delta x+\frac{2y}{x^{2}-y^{2} }\Delta y \end{eqnarray*}$

Setze ich nun x=3 und y=2 ein?

Gruß
Duinne

16.08.2014, 16:53

Duinne

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion mehrerer Variablen - Verschiedenes
Ich habe das nun einfach mal gemacht:
Dabei bin ich zu folgendem Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} dz=\frac{2x}{x^{2}-y^{2} }\Delta x-\frac{2y}{x^{2}-y^{2} }\Delta y=1,2\Delta x-\frac{4}{5}\Delta y \end{eqnarray*}$

Für b) habe ich folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} f\left(3,2;1,9\right)=f\left(3;2\right)+dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\left(3,2;1,9\right)=1,6+1,2\cdot 0,2-\frac{4}{5}\cdot 0,1=1,76 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\left(3,2;1,9\right)=ln\left(x^{2}-y^{2} \right)=1,89 \end{eqnarray*}$

Und, was hält man davon?

Danke und liebe Grüße
Duinne

Neue Frage »

Antworten »

Funktion mehrerer Variablen - Verschiedenes

Verwandte Themen