limsup und liminf

04.08.2014, 16:58

neuling96

limsup und liminf

$\begin{eqnarray*} A_{2n} := \{1\}, A_{2n+1} := \{1,2\} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \liminf_{n \to \infty} A_n = \{1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} A_n = \{1, 2\} \end{eqnarray*}$

Ich komme mit den Begriffen wie LimSup und LimInf nicht weiter.

Wieso ist der $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} A_n = \{1, 2\} \end{eqnarray*}$

Ich hätte als $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} A_n = \{1} \end{eqnarray*}$

04.08.2014, 17:13

neuling96

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RE: limsup und liminf

Zitat:

Original von neuling96
$\begin{eqnarray*} A_{2n} := \{1\}, A_{2n+1} := \{1,2\} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \liminf_{n \to \infty} A_n = \{1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} A_n = \{1, 2\} \end{eqnarray*}$

Ich komme mit den Begriffen wie LimSup und LimInf nicht weiter.

Wieso ist der $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} A_n = \{1, 2\} \end{eqnarray*}$

Ich hätte als $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} A_n = \{1\} \end{eqnarray*}$

, da es ja in allen Mengen erhalten muss

04.08.2014, 17:49

Gast11022013

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Könntest du einmal die Aufgabenstellung nennen.

Zitat:

Ich komme mit den Begriffen wie LimSup und LimInf nicht weiter.

LimSup ist der größte Grenzwert einer konvergenten Teilfolge.
LimInf ist der kleinste Grenzwert einer konvergenten Teilfolge.

04.08.2014, 17:55

Felix.

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Es ist
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m\ge 2n} A_m = \{1\}\cup \{1,2\}\cup\{1\}\cup\{1,2\}\cup\ldots = \{1,2\} \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m\ge 2n+1} A_m = \{1,2\}\cup \{1\}\cup\{1,2\}\cup\{1\}\cup\ldots = \{1,2\}. \end{eqnarray*}$

Damit folgt
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m\ge n} A_m = \{1,2\}. \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \mathrm{lim\,sup}(A_n) = \bigcap_{n\ge 1}\Big[\bigcup_{m\ge n} A_m\Big]= \bigcap_{n\ge 1}\{1,2\}<br /> = \{1,2\}\cap\{1,2\}\cap\{1,2\}\cap\ldots = \{1,2\}. \end{eqnarray*}$

04.08.2014, 17:59

Gast11022013

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Hmm...

Ich glaube ich kann dir hierbei keine so gute Hilfe sein.

04.08.2014, 18:27

neuling96

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Zitat:

Original von Felix.
Es ist
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m\ge 2n} A_m = \{1\}\cup \{1,2\}\cup\{1\}\cup\{1,2\}\cup\ldots = \{1,2\} \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m\ge 2n+1} A_m = \{1,2\}\cup \{1\}\cup\{1,2\}\cup\{1\}\cup\ldots = \{1,2\}. \end{eqnarray*}$

Damit folgt
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m\ge n} A_m = \{1,2\}. \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \mathrm{lim\,sup}(A_n) = \bigcap_{n\ge 1}\Big[\bigcup_{m\ge n} A_m\Big]= \bigcap_{n\ge 1}\{1,2\}<br /> = \{1,2\}\cap\{1,2\}\cap\{1,2\}\cap\ldots = \{1,2\}. \end{eqnarray*}$

Der Limes superior der Mengenfolge (An) ist die Menge aller Elemente aus \Omega, die in unendlich vielen An liegen.

Hier im bsp liegt doch $\begin{eqnarray*} \{1, 2\} \end{eqnarray*}$ nur in A(2n+1) also nicht in alle sondern mit ungeraden Index.

04.08.2014, 18:49

Leopold

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Es geht um die Elemente (!), die in unendlich vielen der $\begin{align*} A_n \end{align*}$ liegen. Und sowohl $\begin{align*} 1 \end{align*}$ liegt in unendlich vielen $\begin{align*} A_n \end{align*}$ (nämlich in allen) als auch $\begin{align*} 2 \end{align*}$ (nämlich in jedem zweiten). Daher ist

$\begin{align*} \limsup_{n \to \infty} A_n = \{ 1,2 \} \end{align*}$

04.08.2014, 18:55

Felix.

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Oh ja, die Mathematik.
Da muss man jedes Wort auf die Goldwaage legen.

04.08.2014, 21:00

neuling96

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$\begin{eqnarray*} \mathrm{lim\,sup}(A_n) = \bigcap_{n\ge 1}\Big[\bigcup_{m\ge n} A_m\Big] \end{eqnarray*}$

Mal angenommen x ist element An für n=>6

Dann liegt doch x in unendlichen vielen An also ist x das limsup
aber x ist auch limInfo, da bis auf endlich viele in allen andere An liegt?
Habe das ich richtig verstanden?

05.08.2014, 00:48

Stephan Kulla

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@neuling96: Deine Argumentation ist richtig Augenzwinkern

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