Funktionenschar mit Parameter, Tangente und Flächenberechnung

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04.08.2014, 19:53	Gurletzky	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenschar mit Parameter, Tangente und Flächenberechnung Guten Tag Ich steh im Moment voll an bei dieser Aufgabe -.- Funktionenschar $\begin{eqnarray} f_p(x)=\frac{p+ln x}{p-ln x} \end{eqnarray}$ p Element von R ohne 0 Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=2\sqrt{x} -4 \end{eqnarray}$ Punkt A(1/1) a) bestimme den maximalen Definitionsbereich von f und von g. bei der Geraden hab ich grösser-gleich 0 und bei der Funktion noch nix -.- Versteh das Vorgehen bei den gebrochenrationalen Funktionen noch nicht ganz :-/ b) Im Punkt A wird eine Tangente an den Funktionsgraphen f_p gelegt. Berechne p so, dass diese Tangente durch den Ursprung geht. hatte ne Ableitung gemacht von f(x) und kam auf $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{(p-ln x)^{2} } \end{eqnarray}$ Danach sieht man, dass die Tangente (durch Ursprung und A(1/1)) die Steigung x haben muss. wollte die Ableitung = x setzen aber bin dann bei der Auflösung gescheitert... Falls die Ableitung stimmt stelle ich gerne meine Zwischenergebnisse auch noch rein! c) N und M seien Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f_p respektive g mit der x-Achse. Berechnen Sie alle Werte für p so, dass das Dreieck NMA den Inhalt = 1 hat. Schnittpunkt g mit der x-Achse hab ich M(4/0). Hier scheitere ich erneut mit der für mich komplizierten Funktion und deren Schnittpunkt -.- Wollte ne Flächenformel ab/2*sin Gamma ins Spiel bringen, wobei b=Strecke AM und Gamma der Schnittwinkel bei M (g mit der x-Achse) und danach umformen nach a um diesen Betrag auf der x-Achse vom Punkt A abzuziehen... Auch hier bin ich gescheitert -.- Entschuldigt die vielen Fragen hier, aber ich steht echt grad voll aufm Schlauch :-/
04.08.2014, 20:14	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich kann dich nicht in allen Punkten betreuen aber Punkt a.) f(x) : der ln(x) muss zumindest definiert sein. Für welche x gilt dies ? Zusätzlich darf der Nenner nicht Null sein. Wann gilt dies ? g(x): für welche x ist die Wurzel definiert ?
04.08.2014, 20:39	Gurletzky	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei der Funktion ist es so, dass $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ Zudem darf der Nenner nicht 0 sein --> $\begin{eqnarray} ln x \neq p \end{eqnarray}$ also nicht $\begin{eqnarray} e^{p} \end{eqnarray}$ bei der Geraden habe ich bereits angegeben, dass es $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ sein muss. ist das alles?
04.08.2014, 20:58	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
g(x) ist keine Gerade. Ansonsten o.k. b.) die Ableitung ist falsch. Ansonsten ist die Tangente: $\begin{eqnarray} y(x)=1+f'_p(1)(x-1) \end{eqnarray}$ Die Bedingung ist nun y(0)=0 --------------------------------------------------------------------- muss nun aber leider abbrechen
04.08.2014, 21:13	Gurletzky	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das Gefühl, dass ich da heute nichts mehr kluges raus bringe :-/ bin nun bei $\begin{eqnarray} f'(x)= \frac{2p}{x(p-lnx)^2} \end{eqnarray}$ sollte ja eigentlich mit der Quotientenregel hin hauen oder?
04.08.2014, 21:18	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
da Dopap raus ist, mache ich mal weiter. Die Ableitung stimmt nun. Nutze nun Dopaps Tipp oder setze diese Ableitung an der Stelle x=1 mit 1 gleich. Denn die Steigung der Tangente soll ja 1 sein, damit sie durch die Punkte (0\|0) und (1\|1) verläuft.
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04.08.2014, 21:24	Gurletzky	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemacht... somit ist p=2 korrekt? Wenn ja, dann geh ich morgen weiter zu Teilaufgabe c)
04.08.2014, 21:26	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
dann würde ich sagen ... bis morgen
05.08.2014, 18:21	Gurletzky	Auf diesen Beitrag antworten »
na dann, auf geht's Gegeben A(1/1), f(x) und g(x) und Fläche des Dreiecks =1 Schnittpunkt g mit x-Achse N(4/0) Schnittpunkt f(x) mit x-Achse M(?/0) Wie gehe ich hier am besten vor? Bereits eine Flächenformel ins Spiel bringen und danach auflösen? Sollte ja auf irgend ne Art eine binomische Formel werden oder? Erwarte ja 2 Lösungen...
05.08.2014, 18:26	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
NS von $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ stimmt. Du brauchst zunächst noch die Nullstelle von $\begin{eqnarray} f_{p}(x) \end{eqnarray}$ . Klar, wie man diese berechnet? Danach kann man sich überlegen, wie der Flächeninhalt des Dreiecks am geschicktesten berechnet werden kann.
05.08.2014, 18:31	Gurletzky	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 0=\frac{p+ln(x)}{p-ln(x)} \end{eqnarray}$ aber ausrechnen? muss gestehen, dass da noch ne kleine Basislücke ist :-/ edit: gleich generell Nullstellen mit Brüchen auf der anderen Seite...
05.08.2014, 18:33	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
ein Bruch kann nur 0 werden, wenn der Zähler 0 wird (und gleichzeitig der Nenner ungleich 0 ist). Also reduziert sich die Rechnung auf $\begin{eqnarray} p+ln(x)=0 \end{eqnarray}$
05.08.2014, 18:37	Gurletzky	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ok, alles klar $\begin{eqnarray} x=e^{-p} \end{eqnarray}$ ist gleich $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{e^{p} } \end{eqnarray}$ stimmt das soweit? Ps: bin kurz ne Stunde oder so weg... danke schon mal bis hierhin
05.08.2014, 18:40	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das stimmt. Dann noch als kurze Hilfe, falls ich nachher nicht mehr da sein sollte: Du hast 2 Punkte, die auf der x-Achse liegen. Diese beiten sich als Grundseite des Dreiecks an. Denn die Höhe des Punktes A zu dieser Grundseite ergibt sich direkt. Es muss also bloß der Abstand der Punkte M und N so gewählt werden, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 1 ergibt.
05.08.2014, 18:44	Gurletzky	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ich hab das schon einmal über nen anderen Weg ausgerechnet und bin auf M(2/0) gekommen... habs aber über nen anderen Weg gemacht... stimmt dieser Schnittpunkt? Wenn ja wäre ja nur noch zu schauen e-hoch-was gibt 2 oder? edit: bzw. 1 / e-hoch-was gibt 2 meinte ich ;-)
05.08.2014, 18:50	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, dieser Schnittpunkt stimmt. Es fehlt dazu der passende p-Wert. Dann muss noch der zweite in Frage kommende SP berechnet werden.

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