(Sehr) schwieriger Grenzwert

04.08.2014, 18:40	Gilbertraum	Auf diesen Beitrag antworten »
(Sehr) schwieriger Grenzwert Guten Abend, in einem anderen Board wurde vor ca. 2,5 Jahren eine Rätselaufgabe gestellt, bei der der Autor einfach nicht dazu kommt (aus Zeitgründen) aufzulösen. matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=166215&start=0&lps=1377674#v1377674 Ich interessiere mich sehr für die Lösung und wollte um Lösungstipps fragen, da ich nicht weiß, in welche Richtung man denken muss. Hier die Aufgabe: Zwei Folgen $\begin{eqnarray} \{x_n\}, \{p_n\} \end{eqnarray}$ sind durch $\begin{eqnarray} x_0 = p_0 = 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{n+1} = 2+ \sqrt{x_n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_{n+1} = \frac{2}{\sqrt{x_n}}\cdot p_n \end{eqnarray}$ definiert. Konvergieren sie? Wenn ja wohin. Meine Ideen: Dass $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ konvergiert ist klar (mit Grenzwert 4). Wie es aussieht (computergestützte Berechnung) konvergiert $\begin{eqnarray} (p_n) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ . Meine Versuche das zu Zeigen sind leider nur Stochern in der Dunkelheit. Ich habe mit Hilfe eines Teleskopprodukt dargestellt: $\begin{eqnarray} p_{n+1} = 2^{n+2}\prod_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{x_k}} \end{eqnarray}$ . Aber ob das weiterhilft? Kann mir jemand Tipps geben?
04.08.2014, 21:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man einem Einheitskreis nacheinander ein Quadrat ( $\begin{align} n=1 \end{align}$ ), ein regelmäßiges Achteck ( $\begin{align} n=2 \end{align}$ ), ein regelmäßiges Sechzehneck ( $\begin{align} n=3 \end{align}$ ) und so weiter einbeschreibt (die Eckenzahl wird also jeweils verdoppelt), dann gibt $\begin{align} p_n \end{align}$ gerade dessen halben Umfang an. Für $\begin{align} n \to \infty \end{align}$ konvergiert $\begin{align} p_n \end{align}$ damit gegen $\begin{align} \pi \end{align}$ . Im wesentlichen ist $\begin{align} p_n \end{align}$ das $\begin{align} n \end{align}$ -te Teilprodukt des Vieta-Produkts. Siehe auch hier. Beweise dafür solltest du in vielen Lehrbüchern finden: direkte geometrische oder auch mittels Trigonometrie oder sonstwelchen Methoden der Analysis. Unter "Rätsel" würde ich das jetzt nicht gerade laufen lassen.
04.08.2014, 22:03	Gilbertraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, vielen vielen Dank für deine Antwort Falls ihr das hier so macht, kann damit geschlossen werden.

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