Logarithmusproblem

05.08.2014, 08:04	Anaconda55	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmusproblem Hallo, dieser Logarithmus ärgert mich, weil ich nicht weiß warum das so ist: 1. $\begin{eqnarray} h = \lfloor \log(2n!-1) \rfloor \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} h = 1 + \lfloor \log(n!-\frac{1}{2}) \rfloor \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} h = \lceil \log(n!-\frac{1}{2}) \rceil \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} h = \lceil \log(n!) \rceil \end{eqnarray}$ Mir ist alles klar, bis auf die dritte und vierte Gleichung. Was passiert da und warum ist das so? Hat es etwas mit der oberen Gaußklammer zu tun oder mit dem Logarithmus?
05.08.2014, 16:39	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmusproblem Guten Abend, soweit ich das überblicken kann, hast Du kein Logarithmusproblem sondern Du kannst die Definition der ceiling-Funktion nicht korrekt anwenden. Laut Anleitung zu meinem Mathe-Programm gilt: "CEILING(m) liefert die kleinste ganze Zahl größer ... m. Zum Beispiel liefertCEILING(5.73) die Zahl 6 zurück." Betrachte nun n!. Das ist eine natürliche Zahl. Wenn Du davon $\begin{eqnarray} \tfrac12 \end{eqnarray}$ abziehst und anschließend die kleinste ganze Zahl größer $\begin{eqnarray} \left(n! - \frac12 \right) \end{eqnarray}$ berechnest, bist Du wieder bei n!.
05.08.2014, 17:24	Anaconda55	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Bei einem Logarithmus zur Basis 2, wäre dann für n > 1 die Gleichung richtig. Für n = 1 nicht, denn das Ergebnis wäre -1, welches dann -1 bleibt und nicht zu 0 aufgerundet wird. Für n > 1 scheint es zu passen. Ceiling wird ja auf das Ergebnis der Logarithmusfunktion angewendet.
05.08.2014, 21:24	Stephan Kulla	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umformung von Gleichung 2 auf 3 macht nur dann Sinn, wenn $\begin{eqnarray} \log(n!-\tfrac 12) \end{eqnarray}$ nie ganzzahlig ist. Wenn nämlich $\begin{eqnarray} \log(n!-\tfrac 12) \end{eqnarray}$ nicht ganzzahlig ist, wird es in 2 zunächst abgerundet und dann mit 1 addiert, was dasselbe wie aufrunden ist. Wenn $\begin{eqnarray} \log(n!-\tfrac 12) \end{eqnarray}$ ganzzahlig wäre, ist die Umformung falsch. In der Mathematik ist oft mit $\begin{eqnarray} \log \end{eqnarray}$ der natürliche Logarithmus zur Basis $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ gemeint (so wahrscheinlich auch hier). Bei Basis 2 ist die Umformung falsch, wie du bereits angemerkt hast. Was fehlt ist ein Beweis, dass $\begin{eqnarray} \log(n!-\tfrac 12) \end{eqnarray}$ nie ganzzahlig ist: Für $\begin{eqnarray} n\in\{0,1,2\} \end{eqnarray}$ zeigt man es durch direktes nachrechnen. Für n > 2 ist $\begin{eqnarray} n!-\tfrac 12 > e \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \log(n!-\tfrac 12)>1 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \log(n!-\tfrac 12)=k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ mit k > 1. Dann ist $\begin{eqnarray} e^k-(n!-\tfrac 12) = 0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ eine Lösung des Polynoms $\begin{eqnarray} x^k-(n!-\tfrac 12)=0 \end{eqnarray}$ . Da aber $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ eine tranzendente ist, ist dies ein Widerspruch. Bei einem Beweis von 3 nach 4 hänge ich auch...

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