Koordinaten eines Punktes auf einer Spirale

05.08.2014, 13:31

f202

Koordinaten eines Punktes auf einer Spirale

Moin,
ich suche nach einer Formel mit Hilfe der ich Longitude und Latitude für ein Schiff auf spiralförmigen Kurs berechnen kann. Da es meine Kenntnisse im Bereich Integralrechnung ziemlich eingestaubt sind, dachte ich mir ich bitte euch um Hilfe.

Gehen wir als Beispiel mal davon aus wir haben eine Geschwindigkeit von a=5m/s, eine Rotation von 1m/min und Longitude 8° 48' 0" E / Latitude 53° 5' 0" N (wir können auch gerne von X = 0/Y = 0 ausgehen um es zu vereinfachen). Mich würde nun die neue Position nach x min oder einer zurückgelegten Strecke x interessieren.

Schafft es Jemand mir da eine Formel zu erstellen?

06.08.2014, 10:56

Ehos

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Konkretisiere mal den Begriff "spiralförmiger Kurs". Eine Skizze wäre hilfreich.

06.08.2014, 12:05

RavenOnJ

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RE: Koordinaten eines Punktes auf einer Spirale

Zitat:

Original von f202

Schafft es Jemand mir da eine Formel zu erstellen?

moinmoin,
das Problem dürfte nicht einfach sein, da du dich auf einer Kugeloberfläche befindest. Also nix mit Winkelsumme im Dreick 180° und ähnliche Scherze.

Vielleicht lieferst du erst mal selber Ideen? Ansonsten dürfte dir niemand antworten.

06.08.2014, 13:04

Dopap

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ich kenne die Orthodrome, den kürzesten Weg auf einem Großkreis, mit stetig variablen Kurswinkel.
http://de.wikipedia.org/wiki/Orthodrome

die Loxodrome hat einen konstanten Kurswinkel und würde spiralförmig auf die Pole zulaufen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Loxodrome.

Dein Problem scheint "dazwischen" zu liegen verwirrt

07.08.2014, 09:06

f202

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Erstmal danke für eure Antworten! Es handelt sich um kurze Strecken und eher kurze Zeitfenster, daher wäre die Erdkrümmung zu vernachlässigen da die Abweichungen minimal wäre. Skizze reiche ich in kürze nach.

07.08.2014, 09:37

f202

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Bitte Entschuldigt den Doppelpost, aber ich kann meinen vorherigen Beitrag nicht editieren. (Seltsame 15 min Regel verwirrt

). Hier ist auf jedenfall die Skizze. Es geht darum die Position "Y" herauszufinden bei gleichbleibenden bekannten Winkel, Geschwindigkeit, Zeit und Startpunkt "X"

07.08.2014, 11:50

Ehos

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Verwende Kugelkoordinaten

$\begin{eqnarray*} x=R\cos(\phi)\sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=R\sin(\phi)\sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=R\cos(\theta) \end{eqnarray*}$

Den Startpunkt setzen wir am "Nordpol", also am Punkt (0|0|R). Dort ist $\begin{eqnarray*} \theta=0 \end{eqnarray*}$ . Wir bezeichnen den Abstand zweier benachbarter Spiral-Punkte, die den gleichen Meridian $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ haben, mit B. Also gilt: Je kleiner B ist, um so "enger" ist die Spirale. Dann lautet die Parametergleichung der Spiralkurve auf der Kugeloberfläche (wobei $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ der Parameter ist):

$\begin{eqnarray*} \vec x(\phi)=\begin{pmatrix} R\cos(\phi)\sin\underbrace{\left( \tfrac{B\cdot \phi}{2\pi R} \right )}_{\theta} \\ R\sin(\phi)\sin\underbrace{\left( \tfrac{B\cdot \phi}{2\pi R} \right )}_{\theta} \\ R\cdot \cos \underbrace{\left( \tfrac{B\cdot \phi}{2\pi R} \right )}_{\theta} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für eine sehr "grobe Spirale", bei der man für B den viertel Kreisumfang $\begin{eqnarray*} B=\tfrac{\pi\cdot R}{2} \end{eqnarray*}$ wählt, hätte man bereits nach einer Umdrehung $\begin{eqnarray*} \phi=2\pi \end{eqnarray*}$ den Äquator $\begin{eqnarray*} \theta=\tfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ erreicht.

Für deine Zwecke ist der Parameter $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nicht sinnvoll. Du solltest als Parameter die Zeit wählen, damit du die Position des Schiffes zu jedem Zeitpunkt bekommst. Dazu musst du zunächst als Parameter die Bogenlänge s wählen und dann setzen s=vt, wobei v die konstante Geschwindigkeit des Schiffes ist.

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