Uneigentliches Integral sin(x)^2/x |
05.08.2014, 19:22 | Ulumabulu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Uneigentliches Integral sin(x)^2/x Wie kann ich den Grenzwert des folgenden Uneigentlichen Integrals bestimmen. Wie zeige ich nun das(wenn sie divergiert)sie es tut? Danke für eure Hilfe Meine Ideen: Da 1/x divergiert nehme ich an, dass dieses Integral auch divergiert. Konnte jedoch keine Minorante finden. Ich komme mit dem Minoranten-/Majornaten-Kriterium nicht wirklich weiter. |
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05.08.2014, 19:42 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo,
Deine Vermutung ist korrekt. Betrachte mal für das Integral und teile dieses dann in Teilintegrale mit gleicher Integrationslänge auf. |
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05.08.2014, 19:46 | Ulumabulu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Idee hatte ich auch schon nur gibt es keine Stammfunktion von sin(x)^2/x (zumindest keine Elementare). Man müsste versuchen das Integral nach unten abzuschätzen, aber da bin ich auch schon wider am Ende. |
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05.08.2014, 19:51 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da sind wir doch gerade dabei, aber wenn du nicht mitarbeitest wird das nichts Wieso brauchen wir für diesen Ansatz eine Stammfunktion? |
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05.08.2014, 20:06 | Ulumabulu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre praktisch(dachte ich) also meintest du: Eine Abschätzung nach oben hätte Ich sofort(1/x)aber nach unten... |
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05.08.2014, 20:07 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, ich meinte schon das, was ich geschrieben habe. Du kannst das, was ich geschrieben habe aber als Summe von Integralen der Form, die du gerade angegeben hast schreiben. Tu das doch mal |
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06.08.2014, 10:18 | Ulumabulu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube ich habe eine Abschätzungn gefunden. Ich habe anstat der Funktion 1/x die konstante Funktion 1/pi(k+1) um das Integral auszuwerten. somit ist: wenn Somit haben wir dein Integral: Hoffe Ich habe keinen Fehler gemacht. Nun denke ich ist klar, dass die Summe(und das Integral) divergieren wenn wir k nach unendlich streben lassen. |
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06.08.2014, 10:49 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edit2: Habe ein paar Sachen in Zitate gepackt, die sich erübrigt haben, die brauchst du nicht zu beachten, siehe URL's Beitrag. Ja, das ist bis auf Kleinigkeiten richtig, sehr schön , du hast nur einen kleinen Schreibfehler: hinter dem ersten Gleichheitszeichen müsste das Integral natürlich von bis gehen, also , nicht .
Da du deinen Weg nun gefunden hast, hier noch eine Alternative. Diese setzt allerdings voraus, dass man schon etwas über das Konvergenzverhalten von weiß. Es gilt ist nicht existent, da Summe eines existenten und eines nicht existenten ungeigentlichen Riemann-Integrals. Edit: kleiner Fehler korrigiert. |
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06.08.2014, 11:22 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Guppi12: Ich denke, Ulumabulu hat 1/pi nicht abgeschätzt, sondern den Wert des Integrals über sin^2, also pi/2, eingesetzt. Wie sieht man die Existenz von ? Mir ist nur abschnittsweise Integration und dann Leibniz für die Reihe eingefallen. Geht das direkter? Edit: Direkter im Sinne eines Kriteriums, das man direkt anwerfen kann |
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06.08.2014, 11:26 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo URL, ah, danke für den Hinweis! Die Existenz des anderen Integrals sieht man sehr schnell mit partieller Integration (den Kosinus integrieren, 1/x ableiten) und dann Majorantenkriterium. |
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06.08.2014, 11:31 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wusste ich doch, dass ich mich gerade doof anstelle Danke |
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06.08.2014, 11:37 | Ulumabulu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie URL schon bemerkte habe ich nicht abgeschätz sonder das Integral: Und somit: |
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06.08.2014, 11:43 | Ulumabulu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein weg scheint mir gerade ziemlich umständlich. Das ich da nicht früher drauf gekommen bin. Wieder einmal viel zu weit gedacht^^ |
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06.08.2014, 11:48 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vergleichst du gerade mit meiner Alternative? Ich finde deinen Weg eigentlich sehr schön. Für die Alternative muss man doch vorher schon genau wissen, wo man am Ende hin will. Wie soll man das machen, wenn man noch nicht den vollen Überblick über das Themengebiet hat. Außerdem setzt die Alternative ja auch mehr Vorwissen voraus (die Existenz des anderen Integrals). |
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06.08.2014, 12:57 | Ulumabulu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Du hast schon recht man braucht das Wissen über die anderen Integrale. Nur scheinen mir jene einfacher zu sein. 1/x divergiert und cos(x)/x kann man nach oben abschätzen(nach der partiellen Integration). Auf den Trick wäre ich allerdings nicht gekommen. Wieder was gelernt. |
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