Eindeutigkeit der Lösung

05.08.2014, 23:23

Tobias,0

Eindeutigkeit der Lösung

Hallo Matheboard,
Wenn ich ein werte paar (a,b) finde sodass tan(a)*tan(b)=1, wie kann ich sicher sein, dass es die einzige Lösung ist.

06.08.2014, 00:01

Stephan Kulla

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RE: Eindeutigkeit der Lösung
@Tobias: Nehme an, du hättest beliebige (a,b), die tan(a)*tan(b)=1 erfüllen. Folgere aus der Gleichung tan(a)*tan(b)=1, dass das Paar (a,b) einer deiner Lösungen sein muss.

PS: Es gibt überabzahlbar viele Lösungen der Gleichung tan(a)*tan(b)=1, wenn a und b beliebige reelle Zahlen sein dürfen.

06.08.2014, 00:09

Leopold

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Für $\begin{align*} a,b \not \equiv \frac{\pi}{2} \ \text{(mod} \ \pi \text{)} \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} \tan(a) \cdot \tan(b) = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ a + b \equiv \frac{\pi}{2} \ \text{(mod} \ \pi \text{)} \end{align*}$

06.08.2014, 00:51

Tobias,0

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Zitat:

Original von Leopold
Für $\begin{align*} a,b \not \equiv \frac{\pi}{2} \ \text{(mod} \ \pi \text{)} \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} \tan(a) \cdot \tan(b) = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ a + b \equiv \frac{\pi}{2} \ \text{(mod} \ \pi \text{)} \end{align*}$

Sry, ich fürchte das werde ich nicht verstehen. Bisher hatte nichts mit mod zu tun.
Gibt noch ein alternative Idee.

06.08.2014, 01:06

Stephan Kulla

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$\begin{eqnarray*} a+b \equiv \tfrac \pi2 (\mathrm{mod} \pi) \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass du beide Seiten der Gleichung mit beliebige Vielfache von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ addieren kannst. Siehe Artikel zu Modulo

06.08.2014, 01:42

Stephan Kulla

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Um obiges Ergebnis herzuleiten, kannst du folgende Formeln verwenden

* $\begin{eqnarray*} \tfrac 1{\tan x} = \cot x \end{eqnarray*}$
* $\begin{eqnarray*} \arctan x = \tfrac \pi2 - \mathrm{arccot} x \end{eqnarray*}$

Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \mathrm{arccot} \end{eqnarray*}$ nur eindeutig bis auf Vielfache von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ definiert ist. Es ist also $\begin{eqnarray*} \mathrm{arccot}(\cot x) = x + k\pi \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl ist.

06.08.2014, 10:19

Leopold

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Stephan Kulla hat es bereits erklärt. Ich hätte den Zusammenhang auch so formulieren können:

Für $\begin{align*} a,b \not \in \left\{ \ldots, - \frac{5}{2} \pi, - \frac{3}{2} \pi, - \frac{1}{2} \pi, \frac{1}{2} \pi, \frac{3}{2} \pi, \frac{5}{2} \pi, \ldots \right\} \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} \tan(a) \cdot \tan(b) = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ a+b \in \left\{ \ldots, - \frac{5}{2} \pi, - \frac{3}{2} \pi, - \frac{1}{2} \pi, \frac{1}{2} \pi, \frac{3}{2} \pi, \frac{5}{2} \pi, \ldots \right\} \end{align*}$

Die modulo-Variante macht die Formulierung nur geschmeidiger. Inhaltlich bedeutet sie nichts anderes als das oben.

Beispiel 1

$\begin{align*} a = \frac{\pi}{3} \, , \ b = \frac{\pi}{6} \end{align*}$

Hier gilt $\begin{align*} \tan(a) \cdot \tan(b) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 \end{align*}$ . Und es ist $\begin{align*} a+b = \frac{\pi}{2} \end{align*}$ .

Beispiel 2

$\begin{align*} a = 2 \, , \ b = \frac{3}{2} \pi - 2 = 2{,}7123 \ldots \end{align*}$

Hier gilt $\begin{align*} \tan(a) \cdot \tan(b) = (-2{,}1850 \ldots) \cdot (-0{,}4576 \ldots) = 1 \end{align*}$ . Und es ist $\begin{align*} a+b = \frac{3}{2} \pi \end{align*}$ .

Für den Beweis braucht man nur das Additionstheorem des Cosinus:

$\begin{align*} a+b \equiv \frac{\pi}{2} \ \text{(mod} \ \pi \text{)} \ \ \Leftrightarrow \ \ \cos(a+b) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \cos(a) \cdot \cos(b) - \sin(a) \cdot \sin(b) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \ \ \cos(a) \cdot \cos(b) \cdot \left( 1 - \tan(a) \cdot \tan(b) \right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \tan(a) \cdot \tan(b) = 1 \end{align*}$

Für die Rechnung muß man $\begin{align*} a,b \not \equiv \frac{\pi}{2} \ \text{(mod} \ \pi \text{)} \end{align*}$ voraussetzen, damit man nicht $\begin{align*} 0 \end{align*}$ ausklammert und die Tangenswerte definiert sind.

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