Eigenschaften des Matrixexponentials

06.08.2014, 13:36

BigSmile

Eigenschaften des Matrixexponentials

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und soll jetzt bestimmen, ob die Abbildung $\begin{eqnarray*} t \to e^{At} \end{eqnarray*}$ periodisch, exponentiell stabil, beschränkt oder unbeschränkt ist.

Meine Ideen:
Wenn ich das Matrixexonential ausrechne, komme ich auf $\begin{eqnarray*} e^{At} = \begin{pmatrix} e^{2 t} & e^{2 t}(-1+e^t) \\ <br /> 0 & e^{2 t}e^t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (ich hoffe das stimmt).

Nun würde ich sagen, das Matrixexponential ist nicht periodisch, nicht beschränkt und nicht exponentiell stabil (richtig?).

Jetzt aber meine Frage: gibt es Möglichkeiten, Aussagen zur Beschränktheit, exp. Stabilität und Periodizität zu machen, ohne voher das komplette Matrixexponential zu bestimmen?

06.08.2014, 15:14

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RE: Eigenschaften des Matrixexponentials
A hat die Eigenwerte 2 und 3, ist also diagonalisierbar: $\begin{align*} A=S\ \mathrm{diag}(2,3)\ S^{-1} \end{align*}$
Dann ist $\begin{align*} e^{At}=S\ \mathrm{diag}(e^{2t},e^{3t})\ S^{-1} \end{align*}$ .
Stabilität usw. hängen also von der Diagonalmatrix ab. Hättest du negative EW, wäre Beschränktheit gegeben. Rein imaginäre EW - die dann konjugiert wären - ergäben Periodizität.

06.08.2014, 16:23

BigSmile

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RE: Eigenschaften des Matrixexponentials

Zitat:

Original von URL
A hat die Eigenwerte 2 und 3, ist also diagonalisierbar: $\begin{align*} A=S\ \mathrm{diag}(2,3)\ S^{-1} \end{align*}$
Dann ist $\begin{align*} e^{At}=S\ \mathrm{diag}(e^{2t},e^{3t})\ S^{-1} \end{align*}$ .

Ist soweit bekannt. Hab ich benutzt , um $\begin{eqnarray*} e^{At} \end{eqnarray*}$ zu betimmen.

Zitat:

Stabilität usw. hängen also von der Diagonalmatrix ab. Hättest du negative EW, wäre Beschränktheit gegeben. Rein imaginäre EW - die dann konjugiert wären - ergäben Periodizität.

Ich kann also sagen, wenn das Spektrum von A in der Halbebene $\begin{eqnarray*} \{z~|~Re(z) \leq 0 \} \end{eqnarray*}$ liegt, liegt Beschränktheit vor und wäre $\begin{eqnarray*} \sigma(A) \subset \mathbb{C}\setminus\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hätte ich Periodizität, aber nur wenn gilt $\begin{eqnarray*} z \in \sigma(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{z} \in \sigma(A) \end{eqnarray*}$ ?

Und inwiefern hängt die Stabilität von der Diagonalmatrix ab? Und Danke für deine Hilfe!

06.08.2014, 16:41

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RE: Eigenschaften des Matrixexponentials
Bei der Beschränktheit stimme ich zu.
Bei der Periodizität wird das Eis dünner: Bei einer reellen 2x2-Matrix sind die EW automatisch konjugiert. Bei einer reellen 4x4 Matrix auch, allerdings könnten dann z.B. EW $\begin{align*} i \end{align*}$ und $\begin{align*} \sqrt{2}i \end{align*}$ auftreten. Damit hat man keine Periodizität mehr.
Bei Stabilität muss ich ganz passen unglücklich

Aber hier findet sich sicher jemand anders, der da Auskunft geben kann

06.08.2014, 16:43

BigSmile

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RE: Eigenschaften des Matrixexponentials
Kein Problem. Trotzdem vielen Dank!

Edit: Ich freue mich natürlich trotzdem über weitere Hilfe smile

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