Variablen im Exponent? Grenzwerte

06.08.2014, 18:26

Snaff

Variablen im Exponent? Grenzwerte

Hallo

,

ich bin gerade beim üben von Grenzwerte von Reihen und stehe bei manchen Aufgaben total auf dem Schlau. Es geht nicht um das Thema sondern um die Rechenregeln für die Umformungen.
Zu den Lösungen gibt es keine Erklärung wie man drauf kommt und selbst herleiten, krieg ich leider nicht hin.
Ich habe mal 4 Aufgaben mit Lösung abgetippt.

Es wäre super wenn mir jemand klar machen könnte wie hier umgeformt wurde.

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)*2^{n+1}*3^n}{(3^{n+1})(n*2^n)} = \frac{(n+1)*2}{3*n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{3^n}{3^(n+1)}$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{3^n}{4^n}$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = 1 \end{eqnarray*}$
(Der Nenner im ersten Summenzeichen soll 3 hoch n+1 sein.)

$\begin{eqnarray*} \frac{3^{n+1}*n!}{(n+1)!*3n} = \frac{3}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{k+3}*5^k}{5^{k+1}*4^{k+2}} = \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

LG Snaff

06.08.2014, 18:33

Iorek

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Im wesentlichen werden die Potenzgesetze angewendet. Bei der zweiten Aufgabe allerdings scheint etwas schief gelaufen zu sein, so wie es da steht, kann das nicht richtig sein.

06.08.2014, 18:46

Snaff

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Hey Iorek, danke für deine Antwort.

Ich habe die zweite Aufgabe an diesen Beitrag angehängt.

06.08.2014, 18:49

Iorek

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So sieht das schon besser (und vor allem: richtig) aus. Auch hier wurden nur die Potenzgesetze benutzt, um das auf eine geometrische Reihe zurückzuführen.

11.08.2014, 16:15

Snaff

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Hallo,

ich habs geschafft. Ich hab meine Lösungswege aufgeschrieben. Die Aufgabe mit den Fakultätszeichen versteh ich aber immer noch nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{3^{k}*1} {4^{k}+4^1}= \frac{1}{4}*\frac{3^{k}}{4^{k}} \end{eqnarray*}$
Summenzeichen muss man sich denken ^^
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)*2^{n+1}*3^n}{(3^{n+1})(n*2^n)}=\frac{(n+1)*(2^{n}+2)*3^{n}}{(2^{n}+3)(n*2^{n})}=\frac{(n+1)*2}{3*n} \end{eqnarray*}$
3^n und 2^n kürzen sich weg

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{k+3}*5^k}{5^{k+1}*4^{k+2}} = \frac{4^{3}}{5*4^{2}} = \frac{4^{1}}{5*4^{0}}= 4/5 \end{eqnarray*}$

LG

11.08.2014, 16:26

Mathema

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Beachte:

(n+1)! = n!(n+1)

Bist du sicher dass bei dieser Aufgabe 3n und nicht 3^n im Nenner steht?

LG Wink

11.08.2014, 16:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Snaff
$\begin{eqnarray*} \frac{3^{k}*1} {4^{k}+4^1}= \frac{1}{4}*\frac{3^{k}}{4^{k}} \end{eqnarray*}$
Summenzeichen muss man sich denken ^^

Gemeint ist wohl: $\begin{eqnarray*} \frac{3^{k}*1} {4^k \cdot 4^1 }= \frac{1}{4}*\frac{3^{k}}{4^{k}} \end{eqnarray*}$
Und Summenzeichen geht so: $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Snaff
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)*2^{n+1}*3^n}{(3^{n+1})(n*2^n)}=\frac{(n+1)*(2^{n}+2)*3^{n}}{(2^{n}+3)(n*2^{n})}=\frac{(n+1)*2}{3*n} \end{eqnarray*}$

Gemeint ist wohl: $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)*2^{n+1}*3^n}{(3^{n+1})(n*2^n)} = \frac{(n+1)*(2^n \cdot 2)*3^n}{(3^n \cdot 3)(n*2^{n})} = \frac{(n+1)*2}{3*n} \end{eqnarray*}$

@Mathema: man muß halt ein bißchen Phantasie haben. Big Laugh

11.08.2014, 16:36

Mathema

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Zitat:

@Mathema: man muß halt ein bißchen Phantasie haben. Big Laugh

Mein Fehler Gott

11.08.2014, 21:59

Snaff

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Danke sehr smile

Ja Mathema das sollte 3^n heißen. So kann ichs nun auch lösen.
Sorry klarsoweit, hab es schlampig abgetippt. Auf dem Papier ist es richtig. smile

Ich hätte noch eine kleine Frage.

Bei einigen Aufgaben soll ich den Grenzwert von x -> -1 oder x -> 2 bestimmen. Nun bekomme ich da nie die richtige Lösung raus.

Beispiel:
Der limes x -> -1 von:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+x}{4x^{2}-4} \end{eqnarray*}$

Lösung im Anhang. Zwar kann ich die Schritte alle nachvollziehen nur wäre ich da nie drauf gekommen. Wenn ich -1 einsätze, teile ich durch 0 und keine Lösung. Muss ich da solange vereinfachen bis man nicht mehr durch 0 teilt?

11.08.2014, 22:02

Gast11022013

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Das Problem mit dem "durch Null teilen" bekommst du hier nicht, da wir uns der -1 ja nur annähern.
Der Schritt mit dem Kürzen wird ja auch darunter durchgeführt, dass $\begin{eqnarray*} x\neq -1 \end{eqnarray*}$ ist.

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