Kompaktheit Verständnis |
06.08.2014, 19:59 | neuling96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kompaktheit Verständnis ich hab ein Problem mit den Begriff der Kompaktheit. Man angenommen es gibt eine konvergierte Teilmenge xnk Element X und man weiß, dass xnk gegen ein x konvergiert. Bedeutet das nun, dass X Kompakt ist? Wenn ja, wieso? |
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06.08.2014, 20:03 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist ziemlich wirr. Soll das in etwa folgendes heißen: "Mal angenommen, es gibt eine konvergente Teilfolge mit für ." |
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06.08.2014, 20:04 | neuling96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. |
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06.08.2014, 20:05 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kann man dann so nicht sagen. Wo liegt ? |
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06.08.2014, 20:05 | neuling96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In groß X. |
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06.08.2014, 20:10 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Existenz reicht hier nicht. Wenn das für alle Folgen aus gilt, dann nennt man folgenkompakt. |
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06.08.2014, 20:20 | neuling96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lies dir bitte folgendes durch. Es geht um den Satz 2.13.3.1 und folgende Zeilen: iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis/vorlesung-analysis/node134.html "d.h. die zu wegenzugehörige Teilfolge konvergiert gegen . Damit ist kompakt." Hier folgen sie doch, dass aus einer konvergierte Teilmenge ynk Element M2 und man weiß, dass ynk gegen ein y konvergiert. -> M2 kompakt. Sie habe doch doch nur für eine Folge ynk gezeigt, dass sie konvergiert, wieso folgen sie die Kompaktheit von M2. |
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06.08.2014, 20:25 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Da steht doch schon als erstes:
EDIT: Und bitte: es heißt konvergente Teilfolge, nicht "konvergierte Teilmenge" o.ä. |
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06.08.2014, 20:33 | neuling96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nochmals für den Abschluss Wenn X kompakt ist und ich eine beliege Folge xk aus X raus picke, dann existiert dazu eine Teilfolge xnk sodass mit für . Und das gilt für jede beliebe Folge aus X? |
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06.08.2014, 20:49 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er folgenkompakt ist. Und die Definition von Folgenkompaktheit eines Raumes ist gerade, dass jede Folge aus eine konvergente Teilfolge besitzt, mit für . |
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06.08.2014, 20:50 | Jayk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie habt ihr denn Kompaktheit definiert? Bei der Folgenkompaktheit ist ganz entscheidend, dass der Grenzwert selbst in X liegt (zum Beispiel sind offene Intervalle nach dem Satz von Heine-Borel nicht kompakt; wären die Randpunkte, die als Grenzwerte infrage kommen, auch enthalten, wären sie kompakt) und vor allem dass das für jede Folge gilt. Will man Kompaktheit widerlegen, reicht es daher, eine einzige Folge zu konstruieren, die die Bedingung nicht erfüllt. |
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