Kompaktheit Verständnis

06.08.2014, 19:59

neuling96

Kompaktheit Verständnis

Hallo zusammen,
ich hab ein Problem mit den Begriff der Kompaktheit. Man angenommen es gibt eine konvergierte Teilmenge xnk Element X und man weiß, dass xnk gegen ein x konvergiert.

Bedeutet das nun, dass X Kompakt ist?
Wenn ja, wieso?

06.08.2014, 20:03

bijektion

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Zitat:

Man angenommen es gibt eine konvergierte Teilmenge xnk Element X und man weiß, dass xnk gegen ein x konvergiert.

Das ist ziemlich wirr. Soll das in etwa folgendes heißen: "Mal angenommen, es gibt eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} x_{n_{k}}\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{n_{k}}\to x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ ."

06.08.2014, 20:04

neuling96

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Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

Man angenommen es gibt eine konvergierte Teilmenge xnk Element X und man weiß, dass xnk gegen ein x konvergiert.

Ja.

06.08.2014, 20:05

bijektion

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Das kann man dann so nicht sagen. Wo liegt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

06.08.2014, 20:05

neuling96

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Zitat:

Original von bijektion
Das kann man dann so nicht sagen. Wo liegt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

In groß X.

06.08.2014, 20:10

bijektion

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Existenz reicht hier nicht. Wenn das für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n)_n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt, dann nennt man $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ folgenkompakt.

06.08.2014, 20:20

neuling96

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Zitat:

Original von bijektion
Existenz reicht hier nicht. Wenn das für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n)_n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt, dann nennt man $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ folgenkompakt.

Lies dir bitte folgendes durch.
Es geht um den Satz 2.13.3.1 und folgende Zeilen:
iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis/vorlesung-analysis/node134.html

"d.h. die zu $\begin{eqnarray*} $ \{x_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty } $ \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} $ y_{k_{j}}=f(x_{k_{j}}) $ \end{eqnarray*}$ zugehörige Teilfolge $\begin{eqnarray*} $ \{y_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty } $ \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} $ f(x^{*})\in f(X) $ \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} $ f(X) $ \end{eqnarray*}$ kompakt."

Hier folgen sie doch, dass aus einer konvergierte Teilmenge ynk Element M2 und man weiß, dass ynk gegen ein y konvergiert.
-> M2 kompakt.

Sie habe doch doch nur für eine Folge ynk gezeigt, dass sie konvergiert, wieso folgen sie die Kompaktheit von M2.

06.08.2014, 20:25

bijektion

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Zitat:

Sie habe doch doch nur für eine Folge ynk gezeigt, dass sie konvergiert, wieso folgen sie die Kompaktheit von M2.

Nein.
Da steht doch schon als erstes:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} \left\{ y_k\right\}_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge von Bildpunkten $\begin{eqnarray*} y_k\in f(X) \end{eqnarray*}$

EDIT: Und bitte: es heißt konvergente Teilfolge, nicht "konvergierte Teilmenge" o.ä.

06.08.2014, 20:33

neuling96

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Nochmals für den Abschluss Augenzwinkern

Wenn X kompakt ist und ich eine beliege Folge xk aus X raus picke, dann existiert dazu eine Teilfolge xnk sodass $\begin{eqnarray*} x_{n_{k}}\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{n_{k}}\to x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Und das gilt für jede beliebe Folge aus X?

06.08.2014, 20:49

bijektion

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Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er folgenkompakt ist. Und die Definition von Folgenkompaktheit eines Raumes $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist gerade, dass jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} (x_{n_k}) \end{eqnarray*}$ besitzt, mit $\begin{eqnarray*} x_{n_k}\to x \in X \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ .

06.08.2014, 20:50

Jayk

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Wie habt ihr denn Kompaktheit definiert? Bei der Folgenkompaktheit ist ganz entscheidend, dass der Grenzwert selbst in X liegt (zum Beispiel sind offene Intervalle nach dem Satz von Heine-Borel nicht kompakt; wären die Randpunkte, die als Grenzwerte infrage kommen, auch enthalten, wären sie kompakt) und vor allem dass das für jede Folge gilt. Will man Kompaktheit widerlegen, reicht es daher, eine einzige Folge zu konstruieren, die die Bedingung nicht erfüllt.

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