Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes

18.04.2010, 15:46

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Allgemeine Frage zum rechenstab, undzwar um die erzielbare genauigkeit eines rechenstabes.
ich möchte dazu ein Bsp. geben.

Mit dem Rechenstab soll:

33,56 * 45,72 berechnet werden.

Ich kann aber mit dem Stab nur 33,5 * 45,7 einstellen und bekomme als ergebniss = 1530 ablesen. Der genaue wert ist mit dem TR = 33,56*45,72=1534,36

Der Differenz zwischen TR und rechenstab liegt bei 1534,36-1530= 4,36

meine Frage ist; mein rechenstab ist 30 cm und die maximal mit dem Auge einstellbare grenze soll bei 0,1 mm liegen, also das ich gerade noch 0,1 mm einstellen kann. Wie kann ich nun die Fehlergrenze meines Stabes bestimmen, so das ich sagen kann wenn ich mit dem Stab was ausrechne und sagen kann das der Ergebniss Wert Stabes +/- von dem Wahren wert abweicht. Kann mir bitte jemand dabei behilflich sein.

gruß

Meine Ideen:
??????????

18.04.2010, 16:09

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes
Die 10er-Logarithmus-Skala L des Rechenstabs geht von 0 bis 1 und ist 30 cm lang. Die 0.1 mm entsprechen also einem Fehler des Logarithmus von 1/3000, das entspricht einem Faktor f = 10^(1/3000) = ca. 1.0008.
Wendet man f auf 1530 an, erhält man 1531.2. Deine Ablesung sollte also noch etwas verbesserungsfähig sein.

18.04.2010, 20:07

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes
Hallo,

ich möchte mit dem Stab 1,353 * 1,453 berechnen. Da ich nicht genau einstellen kann, habe ich am Stab 1,355 * 1,455 eingestellt und kann 1,97 ablesen.
Mein rechenstab ist 300 mm und meine ablese genauigkeit liegt bei 0,1 mm.
Zwischen den werten 1,35 und 1,36 ist entfernung 1 mm.
Zwischen den werten 1,45 und 1,46 ist entfernung 0,9 mm.
Zwischen den werten 1,96 und 1,97 ist entfernung 0,7 mm.

Da der Ablesegenauigkeit am Stab anfang und Stab ende nicht überall gleich ist habe ich die obigen werte gegeben.

Mit dem Taschenrechner komme ich auf 1,353 * 1,453 = 1,966

...............................................................................................
$\begin{eqnarray*} f=10^{\frac{1}{3000}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f=10^{\frac{1}{3000}}= 1,00076 \end{eqnarray*}$

1,97* f = 1,97 * 1,00076 = 1,9715 Laut Korrektur.
Am Stab abgelesen = 1,97
1,353 * 1,453 = 1,966 Laut Taschenrechner

Angenomen ich habe keinen Taschenrechner, und weiss nicht wie der genaue wert beträgt und möchte mittels Fehlerrrechnung die Fehler grenze mit +/- angeben.
Bsp. Der Wahre wert liegt bei : 1,97 +/- 0,5 oder 0,05 %, also der Wahre wert weicht vom 1,97 +/- 0,5 oder +/- in %. Danke

Gruß

Berti

18.04.2010, 22:06

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes
f = 1.00077 bedeutet doch +/- 0.77 Promille Fehler (immer bezüglich +/- 0.1 mm) für JEDEN Wert und egal wo auf der Skala.
Verallgemeinert: Bei einer Toleranz von a Millimeter auf der 30 cm langen logarithmischen Skala ist der Ablesefehler $\begin{eqnarray*} 100\left(10^{\frac{a}{300} } -1\right) \end{eqnarray*}$ % des Wertes.

18.04.2010, 22:54

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes
Hallo,

Zitat "f = 1.00076 bedeutet doch +/- 0.76 Promille Fehler (immer bezüglich +/- 0.1 mm) für JEDEN Wert und egal wo auf der Skala"
Was meinst du mit bezüglich +/- 0,1 mm.
Ich habe es mit dem Stab 1,97 bestimmt, wie ist jetzt die Korrekte schreibweise mit fehlergrenze.

Wie muss ich den schreiben;

1,97 +/- 0,76 Promille
1,97 +/- ? als Zahlenwert

gruß

18.04.2010, 23:21

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes
Hallo,

Laut Formel: $\begin{eqnarray*} 100*\left(10^{\frac{0,1}{300} }-1\right)= % \end{eqnarray*}$

die 0,077 % wovon, von 1,97 ?????

Wie muss ich den schreiben;
Der wahre wert liegt bei:

1,97 +/- 0,76 Promille
1,97 +/- ? als zahlen wert
1,97 +/- ? als Prozent

Gruß

Anzeige

18.04.2010, 23:39

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes
Wenn du den Fehler relativ (und damit gültig für alle Werte) nennen willst: +/- 0.077%
Wenn du den Fehler absolut (nur gültig für z.B. den Wert 1.97) anhängen willst: 1.97 +/- 0.0015
(d.h. man erwartet den wahren Wert x so: 1.9685 < x < 1.9715).

22.04.2010, 22:10

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Verständniss Problem
Dieser Thread (zwei Beiträge) wurde angefügt.
Gualtiero

Meine Frage:
Hallo Mathe Freunde,

es geht um das Ablesefehler bei einem Rechenschieber der Auswirkung auf das Endergebniss hat.

Rechnerisch

"Der Ablesefehler lässt sich auch rechnerisch bestimmen. Man geht davon aus, dass ein gewissenhaftes Einstellen auf 1/20 mm möglich ist. Allerdings hat man dabei statt den gewünschten Wert x automatisch den fehlerhaften Wert x + h eingestellt. Somit errechnet man statt dem lg (x) in Wahrheit den lg (x + h). Bei einer Skalenlänge von 250 mm lässt sich h an der Stelle x durch die folgende Ungleichung angeben:

" lg(1 + h/x) ? 0,0002 "

Frage wie ist man auf die 0,0002 gekommen ???

durch Umformung erhält man dann h/x = 1/2000 . Dies gilt für h größer und h kleiner Null.

Frage wie kommt man durch umformung auf 1/2000 ???

"Die relative Ablese- und Einstellgenauigkeit (h/x) auf der Hauptleiter des logarithmischen Rechenstabes hat an allen Stellen x denselben konstanten Wert, sie ist nämlich 1/2 ? des abgelesenen (eingestellten) Wertes x.

Die relative Ablese- und Einstellgenauigkeit h/x ist also unabhängig davon, ob man einen großen oder einen kleinen Wert x einstellt oder abliest."

Dieser Satz soll durch ein Beispiel verdeutlicht werden:

Wenn für x = 3,44 gewählt wird, wäre der absolute Fehler 0,00172 (=3,44 * 0,0005). Also hat man eigentlich einen Wert zwischen dem Intervall von 3,438 bis 3,442 eingestellt.

Man kann also mit dem Rechenschieber auf allen Skalen relativ genau den gesuchten Wert ablesen "

Ich habe den Rechenweg nicht verstanden, kann einer mir dabei helfen.

Gruß

Meine Ideen:
??????

22.04.2010, 22:49

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Verständniss Problem
Hallo,

Sorry ich habe fehler entdeckt daher habe ich es neu gepostet.

Rechnerisch

Der Ablesefehler lässt sich auch rechnerisch bestimmen. Man geht davon aus, dass ein gewissenhaftes Einstellen auf 1/20 mm möglich ist. Allerdings hat man dabei statt den gewünschten Wert x automatisch den fehlerhaften Wert x + h eingestellt. Somit errechnet man statt dem lg (x) in Wahrheit den lg (x + h). Bei einer Skalenlänge von 250 mm lässt sich h an der Stelle x durch die folgende Ungleichung angeben:

" lg(1 + h/x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0,0002 "

durch Umformung erhält man dann h/x = 1/2000 . Dies gilt für h größer und h kleiner Null.

Daraus folgerte Prof. K. Strubecker den Satz:

"Die relative Ablese- und Einstellgenauigkeit (h/x) auf der Hauptleiter des logarithmischen Rechenstabes hat an allen Stellen x denselben konstanten Wert, sie ist nämlich 1/2 ‰ des abgelesenen (eingestellten) Wertes x.

Die relative Ablese- und Einstellgenauigkeit h/x ist also unabhängig davon, ob man einen großen oder einen kleinen Wert x einstellt oder abliest."

Dieser Satz soll durch ein Beispiel verdeutlicht werden:

Wenn für x = 3,44 gewählt wird, wäre der absolute Fehler 0,00172 (=3,44 * 0,0005). Also hat man eigentlich einen Wert zwischen dem Intervall von 3,438 bis 3,442 eingestellt.

Man kann also mit dem Rechenschieber auf allen Skalen relativ genau den gesuchten Wert ablesen

Ich verstehe den Hintergrund nicht wie mann zb. auf 0,0005, 0,0002 und 1/2000 kommt.

gruß

23.04.2010, 11:21

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

@Berti
Nachdem sich wisili hier im ursprünglichen Thread die Mühe gemacht hat, Deine Fragen zu beantworten, wäre es besser gewesen, Du hättest gleich hier weitergepostet, anstatt einen neuen Thread aufzumachen.
Deshalb habe ich den neuen hier angefügt.
Überlege doch auch so: Wenn Du Dich auf eine Antwort nicht zurückmeldest, wird das für den betreffenden Helfer keine große Motivation sein, weiterhin zu antworten.
Also nimm bitte in dieser Weise Rücksicht.

23.04.2010, 12:09

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Fragen oben für einen 30cm-Rechenstab beantwortet. Offenbar beträgt die Skalenlänge nur 25 cm. Ich gebe das Thema ab.

23.04.2010, 14:21

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Erzielbare Genauigkeit
Hallo,

wisili danke für dein Antwort, das was du an Rechenweg geschrieben hast habe ich verstanden, ich habe meine alte Thema Name vergessen "Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes" daher habe ich ein neue Thema aufgeschlagen. Die Zweite Frage gehörte natürlich zur "Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes". Dem Rechenweg von Wisilli habe ich 100 % verstanden, dann habe ich durch zufall noch eine andere Methode gefunden, um den unterschied der beiden Methoden zu verstehen habe ich diese ebenfalls gepostet. Mit beiden Methoden kann mann, den Ablesefehler berechnen von wisilli habe ich verstanden, aber bei der zweiten Metode habe ich den Mathematischen Hintergrund nicht verstanden, ich wollte es den von wisilli und diese miteinander vergleichen.

Gruß

23.04.2010, 14:49

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes

Zitat:

Original von wisili
Die 10er-Logarithmus-Skala L des Rechenstabs geht von 0 bis 1 und ist 30 cm lang. Die 0.1 mm entsprechen also einem Fehler des Logarithmus von 1/3000, das entspricht einem Faktor f = 10^(1/3000) = ca. 1.0008.

An die neue Situation (250 mm lange Skala, 1/20 mm Ablesegenauigkeit) angepasst:
Die 10er-Logarithmus-Skala L des Rechenstabs geht von 0 bis 1 und ist 25 cm lang. Die 1/20 mm entsprechen also einem Fehler des Logarithmus von 1/5000, das entspricht einem Faktor f = 10^(1/5000) = 1.00046 = ca. 1.0005.

Der prozentuale Fehler ist somit 1/2 Promille.
Damit herrscht Uebereinstimmumg mit Strubecker.

Strubecker geht hingegen so vor: Für maximales h gilt: lg(x+h) - lg(x) = 0.0002 (=1/5000).
Mit einem Log-Gesetz folgt: $\begin{eqnarray*} lg\left(\frac{x+h}{x}\right) \end{eqnarray*}$ = 0.0002, also lg(1 + h/x) = 0.0002.
Exponiert zur Basis 10: 1 + h/x = ca. 1.0005, somit h/x = ca. 0.0005 (halbes Promille).

23.04.2010, 16:42

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Erzielbare genauigkeit/methoden vergleich
Hallo,

zur Verständniss der Rechnung.

Mit deiner Methode:

Stablänge: 300 mm
Ablesegenauigkeit: 1/10 mm

Formel: $\begin{eqnarray*} 100*\left(10^{\frac{0,1}{300} }-1 \right) \end{eqnarray*}$ = 0,077% "Relativer Fehler"

$\begin{eqnarray*} \left(10^{\frac{0,1}{300} }-1 \right) = 0,00077 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,97* 0,00077 = 0,0015 \end{eqnarray*}$ "Absoluter Fehler"

Mein Wahrer Wert: $\begin{eqnarray*} 1,97 \pm 0,0015 \end{eqnarray*}$

Wenn man den Fehler relativ (und damit gültig für alle Werte) nennen will: +/- 0.077%
Wenn man den Fehler absolut (nur gültig für z.B. den Wert 1.97) anhängen will: 1.97 +/- 0.0015
(d.h. man erwartet den wahren Wert x so: 1.9685 < x < 1.9715).

Deinen Weg habe ich 100 % verstanden.
.......................................................................................................
Und nun mit der Methode von Strubucker:

Ich habe versucht mit meinem Werten mit der Formel von Herrn Strubucker zu berechnen, komme aber nicht auf die gleiche werte wie oben. Ich wäre dir sehr dankbar wenn du mir mit meinem werten den Weg von Strubucker zeigen würdest, damit ich sehen kann wo meine werte wo in die Formel eingesetz werden muss um auf das gleiche ergebniss zu kommen.

Gruß

23.04.2010, 16:50

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erzielbare genauigkeit eines rechenstabes
Strubecker geht so vor: Für maximales h gilt: lg(x+h) - lg(x) = 0.0002 (=1/5000).
Mit einem Log-Gesetz folgt: $\begin{eqnarray*} lg\left(\frac{x+h}{x}\right) \end{eqnarray*}$ = 0.0002, also lg(1 + h/x) = 0.0002.
Exponiert zur Basis 10: 1 + h/x = ca. 1.0005, somit h/x = ca. 0.0005 (halbes Promille).

23.04.2010, 17:12

Berti

Auf diesen Beitrag antworten »

Erzielbare genauigkeit/methoden vergleich
Hallo,

ich bin glaub ich der sache näner gekommen.

$\begin{eqnarray*} 10^{LOG\left(\frac{300 + 0,1}{300} \right) -1}=1,00077 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 100*\left(\left(10^{LOG\left(\frac{300 + 0,1}{300} \right) -1}\right)-1 \right) = 0,077 % \end{eqnarray*}$ Relativ fehler

$\begin{eqnarray*} 100*\left(\left(10^{LOG\left(\frac{300 + 0,1}{300} \right) -1}\right)\right) = 0,00077 \end{eqnarray*}$ Absoluter fehler

$\begin{eqnarray*} 1,97*0,00077= 0,0015 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1,97 \pm 0,0015 \end{eqnarray*}$

Gruß

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »