Epsilontik / Grenzwertdefinition

06.08.2014, 23:36

decsis

Epsilontik / Grenzwertdefinition

Hallo, ich tue mich extrem schwer mit der Definition des Grenzwertes aus den Vorlesungs-Skripten (deren Richtigkeit ich mir auch nicht ganz sicher bin, da sich bei mir beim Abschreiben immer mal wieder Fehler einschleichen.)

Zitat:

-Liegen in jeder $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung einer Zahl a unendlich viele Folgenglieder, so ist a ein Häufungswert der Folge ( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ )
-Besitzt eine Folge genau einen einzigen Häufungswert, so nennen wir diesen den Limes (Grenzwert) der Folge.
-Eine Zahlenfolge ( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) besitzt den Grenzwert a, wenn für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ von einem bestimmten n an, alle weiteren Folgenglieder in $\begin{eqnarray*} U_\epsilon (a) \end{eqnarray*}$ liegen:

$\begin{eqnarray*} \epsilon\in \mathbb{R}, n_0 \in \mathbb{N} : \forall \epsilon \exists n_0 \forall n(n>n_0 \to |a_n-a| > \epsilon) \end{eqnarray*}$

Mein Versuch der Aus-deutschung dieses Prädikatenwahns:

Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ grösser 0 gibt es eine Zahl $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ so dass für alle für alle Folgeglieder gilt, dass ihr Abstand zum Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

Weiter vereinfacht verstehe ich darunter, dass ab einer bestimmten Zahl der Folge sämtliche Folgenglieder nur noch einen Abstand $\begin{eqnarray*} <=\epsilon \end{eqnarray*}$ zum Grenzwert haben.

Ist das korrekt?

Desweiteren verstehe ich den zweiten Satz nicht so ganz, also dass ein Grenzwert nur existiert, wenn es genau einen einzigen Häufungspunkt gibt. So spontan kommt mir da jetzt nur eine alternierende Folge in Sinn, wie z.B. $\begin{eqnarray*} (a_n) = (-1)^2 \cdot ( 2 + \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ , die sich ja der -2 und 2 annähert. Hat diese Folge denn nun keinen Grenzwert? Oder müsste man jetzt unterscheiden, ob man von links oder rechts kommt?

Und die letzte Frage: Ist unendlich auch ein Häufungspunkt? Parabeln gehen ja soviel ich weiss immer in + und - unendlich und somit 2 Häufungspunkte? Und selbst wenn nicht, dann hätten sie gar keinen Häufungspunkt und somit in jedem Fall nie einen Grenzwert, oder?

Entschuldigt die vielen Fragen, aber ich möchte diesen Grenzwertbegriff wirklich genau verstehen, ansonsten sehe ich schwarz für mich in der Analysis. Hammer

07.08.2014, 00:16

Gast11022013

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Für die Grenzwertdefinition wählt man oftmals die Anschauung eines Schlauches in dem alle Folgeglieder ab einem bestimmten liegen müssen. Und so einen Schlauch musst du immer finden können, damit ein Grenzwert existiert, egal wie klein Epsilon wird.

Bei deinem Versuch der "aus-Deutschung dieses Prädikatenwahns" fehlt eigentlich nur, dass es nicht für alle Folgeglieder gelten muss, sondern für jedes Folgeglied, dass nach diesem Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ kommt.
Das kannst du dir also vielleicht als eine Art Grenze vorstellen, ab der es dann funktionieren muss. Und so eine Grenze musst du für jedes Epsilon finden können, wie oben schon einmal angesprochen.

Der zweite Satz sagt eigentlich erstmal nur, dass wenn eine Folge mehr als einen Häufungspunkt hat, dass sie dann schon gar nicht mehr konvergieren kann.
Eine Folge die einen Häufungspunkt hat, aber nicht konvergiert wäre zum Beispiel die ganz banale Folge die für jedes gerade Folgeglied Null ist und für jedes ungerade Folgeglied n.

Die hätte zwar einen Häufungspunkt, aber konvergiert halt nicht.

Unendlich kann ein uneigentlicher Grenzwert sein, aber dann divergiert die Folge auch, es ist also kein wirkliche Grenzwert (ein uneigentlicher eben). Von einem uneigentlichem Häufungspunkt habe ich noch nichts gehört.

Parabeln sind Funktionen zweiten Grades. Die sind also für $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ entweder positiv unendlich, oder negativ unendlich, beides geht nicht.
Ansonsten sind Folgen ja auch Funktionen von den natürlichen Zahlen in die rellen Zahlen. Da interessiert man sich also nur für die Richtung nach "rechts" und nicht nach "links" wenn du es dir an einem Koordiantensystem anschaust.

07.08.2014, 00:25

Jayk

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In die Definition gehört natürlich ein <, nicht ein > für den Abstand zum Grenzwert. Ansonsten ist das fast korrekt. Das nach "weiter vereinfacht" stimmt jedenfalls. <= muss durch ein < ersetzt werden, wenn du mit der Definition arbeiten willst, das ist aber äquivalent, da die Aussage ja für alle epsilon gelten soll und epsilon also beliebig klein gewählt werden kann.

Richtig ist auch, dass die Folge mit der +-2 keinen Grenzwert hat. In der Definition steht ja $\begin{eqnarray*} n > n_0 \rightarrow \end{eqnarray*}$ , aber egal wie groß du n0 wählst, danach werden immer sowohl positive als auch negative n kommen. Allerdings ist die Aussage, dass eine Zahl ein Häufungspunkt einer Folge ist, äquivalent dazu, dass eine Teilfolge gegen diese Zahl konvergiert (so haben wir das z.B. definiert). Du kannst dir also die geraden Indizes für eine Teilfolge herauspicken, die dann einen Grenzwert hat.

Ob Unendlich ein Häufungspunkt ist oder nicht, ist Definitionssache. Es ist aber sinnvoll, das so aufzufassen, da man dann jeder folge einen limes superior und einen limes inferior zuordnen kann. Jede Potenzreihe hat einen Konvergenzradius, bei der Formel von Cauchy-Hadamard schreibt man einfach $\begin{eqnarray*} 1/R = \operatorname{lim sup}_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \end{eqnarray*}$ , der Term ist für jede Potenzreihe definiert im Gegensatz zum Quotientenkriterium, das nur in den Fällen anwendbar ist, in denen ein bestimmter Grenzwert existiert.
Mit der Zwei-Punkt-Kompaktifizierung $\begin{eqnarray*} \overline {\mathbb R} \end{eqnarray*}$ der reellen Zahlen kann man das auch geeignet formalisieren.

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