Integrale / Differential berechnen

07.08.2014, 10:24

Marvoo

Integrale / Differential berechnen

Hey ich lerne gerade für meine Mathe 2 Klausur und verstehe bei einer aufgabe die Fragestellung nicht ganz.

Aufgabe: Es sei w=xdx+xdy und
$\begin{eqnarray*} \gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb R ^2,\gamma (t)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ; \beta :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb R ^2 , \beta (t)=\begin{pmatrix} cos(t) \\ sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ seihen zwei Wege in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ .

a)Berechen sie $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! w \, ,\int_\beta \! w \, \end{eqnarray*}$ .
das verstehe ich ja noch.

b)Könnte es eine Funktion F: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} dF=w \end{eqnarray*}$ existieren?
da verstehe ich schonmal nicht genau was die mit dF=w meinen. Soll ich schauen ob die beiden Integrale gleich sind für gleiche Werte?
Wenn nicht wie gehe ich an sowas ran und weise es nach?

Danke schonmal!
MfG Marvoo

07.08.2014, 11:15

Marvoo

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muss ich mein berechnetes Intergral wieder ableiten und dann schauen ob das w=xdx+xdy entspricht?

07.08.2014, 11:46

Leopold

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Stimmt das hier: $\begin{align*} \omega = x ~ \dd x + x ~ \dd y \end{align*}$ ? Wirklich zweimal $\begin{align*} x \end{align*}$ ?

Gesucht ist eine Funktion $\begin{align*} F = F(x,y) \end{align*}$ , so daß $\begin{align*} \dd F = \omega \end{align*}$ ergibt. Und $\begin{align*} \dd F \end{align*}$ ist folgendermaßen definiert:

$\begin{align*} \dd F = \frac{\partial F}{\partial x} ~ \dd x + \frac{\partial F}{\partial y} ~ \dd y \end{align*}$

Wenn es eine solche Funktion gibt, dann ist für eine geschlossene Kurve $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ das Integral $\begin{align*} \int_{\gamma} \omega = 0 \end{align*}$ . Ist das denn hier der Fall gewesen?

Übrigens: Bezeichne Differentialformen mit $\begin{align*} \omega \end{align*}$ , nicht mit $\begin{align*} w \end{align*}$ . So ist das in diesem Kontext üblich.

07.08.2014, 12:37

Marvoo

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hat mich auch gewundert aber ja es ist zweimal x.

ich hatte bei den Integralen einmal 0 und einmal 2pi raus.

finde ich diese funktion durch überlegen oder muss ich einfach deine definition an meinen beiden schon errechneten integralen anwenden und dann schauen ob diese gleich $\begin{eqnarray*} \omega \ \end{eqnarray*}$

Wenn also $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \omega \, dx =0 \end{eqnarray*}$ bedeutet das, dass es eine geschlossene Kurve ist und somit $\begin{eqnarray*} dF\neq \int_\gamma \! \omega \, dx \end{eqnarray*}$ ?

07.08.2014, 17:03

Leopold

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Zitat:

Original von Marvoo
... und einmal 2pi raus.

Nicht $\begin{align*} \pi \end{align*}$ ?
Wie auch immer - bringe dein Ergebnis in Zusammenhang damit:

Zitat:

Original von Leopold
Wenn es eine solche Funktion gibt, dann ist für eine geschlossene Kurve $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ das Integral $\begin{align*} \int_{\gamma} \omega = 0 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Marvoo
Wenn also $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \omega \, \color{red} dx \color{black} =0 \end{eqnarray*}$ bedeutet das, dass es eine geschlossene Kurve ist und somit $\begin{eqnarray*} \color{red} dF\neq \int_\gamma \! \omega \, dx \end{eqnarray*}$ ?

Kurvenintegrale sind Zahlenwerte. Die letzte Gleichung ist daher sinnlos. Links steht eine Differentialform, rechts eine Zahl.

08.08.2014, 15:52

Marvoo

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ja war doch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . habs jetzt glauuube ich verstanden.

könnte man bei so einer aufgabe wie bei mir nicht einfach mit der Wegunabhängigkeit/Wegabhängigkeit argumentieren?

oder noch anders: wenn ich meinem integral ein eindeutiges ergebnis habe das dann $\begin{eqnarray*} dF=\omega \end{eqnarray*}$ gilt?

und wenn in meinem ergebnis noch varibablen auftauchen das ich dann schaue ob für verschiedene punkte das selbe rauskommt oder nicht. wenn ja gilt wieder $\begin{eqnarray*} dF=\omega \end{eqnarray*}$ und wenn nicht das gleich rauskommt $\begin{eqnarray*} dF\neq \omega \end{eqnarray*}$

^^oder prüfe ich genau mit der methode ob das integral wegabhängig oder unabhängig ist?

MfG Marvoo

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