Invarianten per GJA
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07.08.2014, 10:32 Chimpor Auf diesen Beitrag antworten »
Invarianten per GJA
Meine Frage:
Hallo Leute,
Im Rahmen meines Studiums muss ich u.a. die Invarianten eines Petri-Netzes ermitteln. Die Grundlagen dazu sind mir bewusst, allerdings habe ich keinen blassen Schimmer wie man zum Schluss das Ergebnis ablesen kann.
Zur Verdeutlichung hier einmal die Aufgabe.

Gegeben ist eine Matrix M
code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:

   
     -1  1  -1  0  0  0  0
      0  0  -1  0  0  1 -1
M =   0  -1  1  1  0  0  0
      0  0   1  0  1 -1  0
      1  0   0 -1 -1  0  1

Wendet man auf diese Matrix den GJA an kommt folgendes dabei heraus
code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:

      1  0  0  -1  0  0  0  0
      0  1  0  -1  0 -1  1  0
      0  0  1   0  0 -1  1  0
      0  0  0   0  1  0 -1  0
      0  0  0   0  0  0  0  0


Wie man erkennt ist die letzte Zeile = 0 und kann somit komplett gestrichen werden.
Unser Dozent hat öfters betont, das die GJA-Lösung in die Dreiecksform gebracht werden MUSS! (1er-Diagonale) und somit die Lösung quasi abgelesen werden kann, ohne dies jedoch wirklich zu erklären. Seine Lösung hierzu sind folgende drei Vektoren

I1 (Transponiert) = (0 1 1 0 0 1 0)
I2 (Transponiert) = (1 1 0 1 0 0 0)
I3 (Transponiert) = (0 0 0 0 1 1 1)

In einer anderen Beispielaufgabe hat er die gegebene Anfangsmatrix zunächst Transponiert mit der Anmerkung : M(Transponiert) * I = 0

Wenn mir jemand erklären kann wie man auf die 3 Lösungsvektoren kommt wäre ich SEHR dankbar, da ich schon seit einigen Tagen vor diesem Problem stehe smile

Vielen Dank im voraus!




Meine Ideen:
s.o.


Matrizen entweder mit LaTeX oder (wie jetzt von mir als Krücke) mit Code-Tag für Festbreitenschrift schreiben.

Ich habe den zweiten Beitrag gelöscht, damit's nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.

Du hast Dich hier mit zwei Accounts angemeldet, was nicht zulässig ist. Dein zweiter Account wird daher demnächst gelöscht.

Ansonsten willkommen und viel Spaß noch im Board!

Steffen
07.08.2014, 14:55 Cevas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Invarianten per GJA
Die beiden Matrizen haben nicht die gleiche Dimension!!
07.08.2014, 15:25 Chimpori Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

Ups ja stimmt. Ich hatte in meinen Unterlagen dem GJA noch eine 0er Spalte hinzugefügt. Die richtige GJA Lösung sollte also :


code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:

          1  0  0  -1  0  0  0      
          0  1  0  -1  0 -1  1   
          0  0  1   0  0 -1  1   
          0  0  0   0  1  0 -1     
          0  0  0   0  0  0  0


lauten.

Hat vielleicht jemand eine Idee? Bin echt am verzweifeln :|

Vielen Dank im voraus!
07.08.2014, 16:17 Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

1.te Zeile= -(1.te +2.te)
2.te Zeile=-(2.te+3.te)
3.te Zeile=- 2.te
4.te Zeile=-(1.te+3.te+5.te)
5.te Zeile= summe aller Zeilen
07.08.2014, 20:20 Chimpori Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cevas
1.te Zeile= -(1.te +2.te)
2.te Zeile=-(2.te+3.te)
3.te Zeile=- 2.te
4.te Zeile=-(1.te+3.te+5.te)
5.te Zeile= summe aller Zeilen


Vielen Dank für deine Antwort!

Kannst du das evtl. es genauer erläutern? stehe immernoch ziemlich aufm Schlau gerade Hammer
07.08.2014, 21:39 Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mir sagst was darin nicht klar ist, könnte ich weiter helfen.
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08.08.2014, 09:45 Chimpori Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
Ich verstehe nicht wie du durch die Additionen der jeweiligen Zeilen auf die drei Lösungsvektoren kommst.

Vielen Dank im voraus

Schönen Tag und viele Grüße
08.08.2014, 13:23 Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem bei solchen Aufgaben ist, dass man mit dem gleichen Verfahren GJA unterschiedliche Wege gehen kann und verschiedene Lösungen bekommen kann. Grund dafür ist, dass wir auf der Suche nach einer Basis sind (in dem Fall, sind es die drei Vektoren); aber die Basis ist nicht eindeutisch!!
Das Verfahren besteht aus lineare Transformation, die geschehen in diesem Fall zeilenweise (siehe meine Antwort).
Dabei sind alle linearen Transformationen erlaubt, daher gibt es verschiedene Wege, die zum Ziel führen.
Ich würde dir empfehlen anhand einfache Gleichungssysteme ein paar mal das Verfahren zu üben.
In der Aufgabe hat der Professor Schritt für Schritt die erste Matrix in die zweiten Transformiert, dabei darf man eine Zeile mal eine Zahl nehmen die andere Zeile mal einer anderen Zahl nehmen zusammen addieren und eine der beiden Zeilen dadurch ersetzen. Ich habe in der Antwort geschildert was er schritt für schritt gemacht hat.
Am ende bekommt man (das ist das Ziel) eine neue Matrix in Zeilenstufenform, die man als Gleichungssystem rückwerts lösen kann. Erst dann bekommt man die Basis (die 3 Vektoren).
Fragen an dich, damit das ganze nicht so öde aussieht!!!
Verstehst du jetzt meine Lösung?
Was bedeutet die letzte Zeile, in der nicht alle einträge null sind als Gleichung?
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