Bogenlänge einer Funktion mittels Kepler'sche Fassregel berechnen

07.08.2014, 21:46	GrinsekatzeMiau	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge einer Funktion mittels Kepler'sche Fassregel berechnen Edit (mY+): Titel berichtigt. Meine Frage: Hallo ihr Lieben, ich bereite mich gerade auf meine Abiturprüfungen über eine Fernschule vor, weshalb ich leider keinen direkten Ansprechpartner in Sachen Mathe habe. In einer Aufgabe soll von der Funktion f(x): $\begin{eqnarray} 0,4(3-e^{0,2x} )^2 \end{eqnarray}$ die Bogenlänge im Intervall [0, 8,8137] berechnen. Ich weiß, dass ich das über die Linienintegralformel $\begin{eqnarray} \int_a^b \!\sqrt{1+f'(x)^2} \ dx \end{eqnarray}$ mache. Um das Integral zu lösen soll ich ein Näherungsverfahren (Kepplersche Fassregel) anwenden. Meine Ideen:* Zuerst würde ich F(x) ableiten und erhalte f'(x) = $\begin{eqnarray} -0,48e^{0,2x} +0,16e^{0,4x} \end{eqnarray}$ Ich würde nun f'(x) in die Linienintegralformel einsetzen, quadrieren, + 1 rechnen. Und das, was ich dann rausbekomme als neues f(x) sehen und mit diesem die Kepplersche Fassregel anwenden. Ist das Vorgehen richtig so, vor allem darf ich unter der Wurzel quadrieren oder hebt sich Quadrat und Wurzel nich gegenseitig auf?
08.08.2014, 00:41	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bogenlänge einer Funktion mittels Keppler'sche Fassregel Berechnen Hallo, die Fassregel soll die Integralformel ersetzen und wird auf die (Ausgangs-) Funktion f angewendet. Die Ableitung (so richtig sie auch ist) brauchst du daher nicht.
08.08.2014, 01:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Kepler
08.08.2014, 19:47	GrinsekatzeMiau	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort, versteh ich allerdings gerade nich Wenn ich die Kepler'sche Fassregel auf die urpsrüungliche Funktion anwende, dann berechne ich doch die Fläche im besagten Intervall? Aber ich will/soll ja die Bogenlänge berechnen.... Sonst is der Hinweis auf die Linienintegralformel, welcher in der Aufgabenstellung gegeben ist ja total hinfällig . Hoffe mich kann da noch wer aufklären, das verwirrt mich echt
08.08.2014, 20:07	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, dass thk das Wort "Bogenlänge" übersehen hat. das Quadrat steht in einer Summe, also nix mit "kürzen" Also weiter im Text...
08.08.2014, 22:08	GrinsekatzeMiau	Auf diesen Beitrag antworten »
Also quadriere ich nun f'(x) und erhalte : $\begin{eqnarray} \frac{144}{625} e^{0,4x} - \frac{96}{625} * e^{0,6x} + \frac{16}{625} e^{0,8x} \end{eqnarray}$ Dann setz ich das in die Formel ein: s = $\begin{eqnarray} \int_0^8 \! \sqrt{1+\frac{144}{625}e^{0,4x}-\frac{96}{625}e^{0,6x}+\frac{16}{625} e^{0,8x} } \, dx \end{eqnarray}$ Sooo und nun setz ich die gesamte Wurze, also $\begin{eqnarray} \! \sqrt{1+\frac{144}{625}e^{0,4x}-\frac{96}{625}e^{0,6x}+\frac{16}{625} e^{0,8x} } \, \end{eqnarray}$ in die Kepler'sche Formel ein, weil man das Integral nur mittels Näherungsverfahren lösen kann?
Anzeige

08.08.2014, 23:03	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja sorry, hatte tatsächlich die gesuchte Bogenlänge dann wieder vergessen :O Mit diesem (beunruhigenden) Ausdruck kommt du auf die Bogenlänge. Prinzipiell sind Produkte numerisch genauer als Summen, z. B. $\begin{eqnarray} \sqrt{1+\left(-\frac{4}{25}\cdot e^{0.2\cdot x}\cdot(3-e^{0.2\cdot x})\right)^{2}} \end{eqnarray}$ , aber das sollte hier egal sein. Alternativ kann man auch (per Kepler) die Abstände der Stützpunkte $\begin{eqnarray} \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} +... \end{eqnarray}$ aufsummieren, wenn man ohne Ableitung auskommen will.
09.08.2014, 11:27	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls dein Intervall von Null bis 8.8137 gehen sollte, dann ist die ziemlich genaue Bogenlänge $\begin{eqnarray} s=10.68551 \pm 0.00001 \end{eqnarray}$ beim Intervall Null bis 8 $\begin{eqnarray} s=8.82069 \pm 0.00001 \end{eqnarray}$ was bringt die Fassregel ?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »