Lipschitz-stetig trotz Unstetigkeit?

07.08.2014, 23:03

Kawabeta

Lipschitz-stetig trotz Unstetigkeit?

Folgende Frage: Kann eine Funktion Lipschitzstetig sein, obwohl sie unstetig ist?

Wenn ja, dann keine weiteren Fragen. Wenn nein, dann erklärt mir bitte meinen Fehler in der Überlegung in dieser Aufgabe:
Die Funktion ist eine abschnittsweise definierte, und zwar folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\biggl\{ \frac{1}{x} \text{ für } x\neq 0, 0 \text{ für } x = 0 \biggr\} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion soll auf Lipschitz- und normale Stetigkeit untersucht werden. Laut meines Wissens (und Wikipedia) ist die Lipschitz-Stetigkeit so definiert:

$\begin{eqnarray*} \exists L\in \mathbb{R}: L\geq0: |f(x_1)-f(x_2)|\leq L|x_1-x_2|\text{ }\text{ }\forall x_1, x_2\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Die Stetigkeit der Funktion ist schnell widerlegt:
$\begin{eqnarray*} \\\text{Stetigkeit: } \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \neq 0 \Rightarrow \text{nicht stetig} \end{eqnarray*}$
Um die Lipschitz-Stetigkeit zu überprüfen, sehe ich mittels Fallunterscheidung, ob die obige Gleichung stimmt.
$\begin{eqnarray*} \text{für } x_1,x_2\neq 0, x_1\neq x_2: |\frac{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} }{x_1-x_2} | \leq L < \infty \text{ }\checkmark \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{für } x_1=0, x_2\neq x_1: |\frac{\frac{1}{x_2} }{x_2}|=|\frac{1}{x_2^{2} } | \leq L < \infty \text{ } \checkmark \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \text{für } x_2=0, x_1\neq x_2: |\frac{\frac{1}{x_1} }{x_1}|=|\frac{1}{x_1^{2} } | \leq L < \infty \text{ } \checkmark \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{für } x_1=x_2: |f(x_1)-f(x_2)|=0\leq L|x_1-x_2|=0\text{ } \checkmark \end{eqnarray*}$

Also komme ich zum Schluss, dass die Funktion lipschitzstetig bezüglich x ist, obwohl die Funktion doch klar unstetig ist.
Stimmt denn die Definition nicht? Laut Wikipedia (der, der jetzt sagt, in Wikipedia stehe etwas falsches, der soll dies dort selbst richtig stellen) ist die Lipschitzstetigkeit in der Definition unabhängig von der allgemeinen Stetigkeit, nur in "Eigenschaften" wird gesagt, dass dann Stetigkeit immer zutrifft.

Also hab ich oben ein Fehler gemacht? Habe ich einen Fall vergessen?

07.08.2014, 23:10

Guppi12

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Guten Abend,

Zitat:

Folgende Frage: Kann eine Funktion Lipschitzstetig sein, obwohl sie unstetig ist?

Nein.

Zu deiner Überlegung:

Zunächst mal musst du dir ja erstmal dein L festsetzen. Was soll also dein L sein?

Und wo du da überall immer abgehakt hast, das macht halt erst Sinn, wenn du sagst, für welches L das gelten soll.

08.08.2014, 00:01

RavenOnJ

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RE: Lipschitz-stetig trotz Unstetigkeit?

Zitat:

Original von Kawabeta

$\begin{eqnarray*} \text{für } x_1=0, x_2\neq x_1: |\frac{\frac{1}{x_2} }{x_2}|=|\frac{1}{x_2^{2} } | \leq L < \infty \text{ } \checkmark<br /> \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist noch nicht mal lokal Lipschitz-stetig, geschweige denn global: Nimm eine Umgebung von 0. Du kannst kein festes L finden, sodass die Funktion eine Lipschitz-Bedingung mit diesem L erfüllt, da es in jeder Umgebung von 0 ein $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ gibt mit $\begin{align*} \lvert f(x_2)-f(0)\rvert = \lvert f(x_2)\rvert= \left\lvert\frac 1{x_2} \right\rvert> L\lvert x_2\rvert\Rightarrow \left\lvert \frac 1{x_2^2} \right\rvert > L \end{align*}$

08.08.2014, 00:26

Kawabeta

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RE: Lipschitz-stetig trotz Unstetigkeit?
@Guppi12, RavenOnJ

Jetzt leuchtet es mir ein, dass ich das, was ganz grundlegend ist, nicht bedacht habe. Ich habe die Lipschitz-Stetigkeit einfach missverstanden und es nicht eingesehen, weil ich sie vor einem Jahr bereits eingesetzt habe. Jetzt fällt es mir natürlich wie Schuppen vor den Augen.

Ich habe in meiner Theorie natürlich erst $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ gesetzt, und dann L. Blöderweise natürlich, denn so wären ja ziemlich viele unstetige Funktionen Lipschitz-stetig.

Danke, dass ihr mich von meinem peinlichen Denkfehler befreit habt!

08.08.2014, 07:31

Guppi12

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Ok, schön, dass es Klick gemacht hat Augenzwinkern

Noch eine weitere Sache, bei der die Reihenfolge nicht vertauscht werden sollte:
Die Quantoren, die Variablen einführen, über die Aussagen gemacht werden, gehören vor die entsprechende Aussage, nicht dahinter.

Das ist ein Fehler, den ich in letzter Zeit sehr häufig sehe und ich frage mich wirklich woher das kommt. Denn logischer ist doch allemal die richtige Variante (bevor ich Variablen benutze, führe ich sie ein, insbesondere bei längerem Aussagen fragt man sich doch sonst die ganze Zeit, was das überhaupt für Variablen sein sollen) :?

Ist man gerade in einem Textblock (Quantorenblöcke sollten von Textblöcken klar getrennt sein und nicht vermischt werden, auch ein häufiger Fehler (z.B. das Ersetzen von "für alle" durch einen Quantor im Fließtext)), so hat man diesbezüglich weitaus mehr Freiheit. Bei Quantorenblöcken hingegen ist der Aufbau vorgegeben.

08.08.2014, 10:27

Kawabeta

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Sollte es also oben folgendermaßen stehen?

$\begin{align*} \exists L\in \mathbb{R}: L\geq0, \text{ }\forall x_1, x_2\in \mathbb{R}: |f(x_1)-f(x_2)|\leq L|x_1-x_2|\text{ } \end{align*}$

Bei meinen letzten Vorlesungen der Mathematik (ich studiere Maschinenbau), insbesondere bei der jetzigen "Numerische Mathematik", wird der Quantor $\begin{align*} \forall \end{align*}$ eigentlich soweit ich sehe immer nach einer Formel verwendet, insbesondere bei $\begin{align*} \forall x \in \mathbb{R} \end{align*}$ , auch wenn x zuvor nur in der Formel selbst eingeführt ist. Liegt es an der häufigen Verwendung von x als Funktionsvariable, die man als bereits eingeführt sieht?
Falls ich dich falsch verstanden habe, dann berichtige mich bitte.

08.08.2014, 10:55

Guppi12

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Ja genau, so ist es richtig.

Zitat:

Liegt es an der häufigen Verwendung von x als Funktionsvariable, die man als bereits eingeführt sieht?

Nein, es liegt daran, dass die Leute, die es so hinschreiben es entweder nicht besser wissen oder es ihnen egal ist, dass es falsch ist. Es gibt keinen Grund dafür, Quantoren hinter die Aussage zu schreiben, auf die sie sich beziehen. Das ist einfach nur falsch.

Viele schreiben zum Beispiel sowas wie:

"Es gilt $\begin{eqnarray*} A(x) \forall x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ " statt "Es gilt $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ " (was richtig wäre). Das passiert dann meistens aus Faulheit. Und ja, auch Professoren machen das leider zum Teil so(bei diesen würde ich jetzt erstmal davon ausgehen, dass das aus Faulheit und nicht aus Nichtwissen heraus passiert).

Wenn man in obigem Beispiel doch unbedingt Quantoren benutzen möchte, müsste man es so machen:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb R \quad A(x) \end{eqnarray*}$

Nur hört sich das beim Aussprechen holprig an, deswegen würde ich eher zur ersteren Variante (allerdings der richtigen) tendieren.

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