Konvergenzradius r=unendlich

08.08.2014, 12:23

Konvergenzradius23

Konvergenzradius r=unendlich

Meine Frage:
Ich soll zeigen dass diese Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$
den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r=\infty \end{eqnarray*}$ hat.

Meine Ideen:
mit an/an+1 komme ich auf n+1/x oder wenn ich an=1/n! mache komme ich auf n+1

08.08.2014, 12:36

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius r=unendlich
Also da mußt du etwas ausführlicher werden:
Welche Regel wendest du an, was ist dein Ergebnis und was ist dann deine Frage bzw. Problem.

08.08.2014, 14:43

Konvergenzradius23

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Konvergenzradius r=unendlich
Angewendet habe ich:
$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

Einmal mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^x}{n!} \end{eqnarray*}$ und einmal mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ , weiß aber nicht genau welches an ich nehmen soll.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ nehme, erhalte ich n+1:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}} = \frac{n! (n+1)}{n!} = n+1 \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, ich soll zeigen dass die Reihe den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r=\infty \end{eqnarray*}$ hat (Frage ist wie).
Bei dem n+1 als Erg., wenn man da n gegen unendlich laufen lässt, wäre es ja schon unendlich?

08.08.2014, 15:11

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius r=unendlich

Zitat:

Original von Konvergenzradius23
Einmal mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^x}{n!} \end{eqnarray*}$ und einmal mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ , weiß aber nicht genau welches an ich nehmen soll.

Bei Potenzreihen reicht es, wenn du den Faktor vor dem x^n, also $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ betrachtest.

Und da $\begin{eqnarray*} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \end{eqnarray*}$ gegen unendlich geht, ist der Konvergenzradius unendlich. smile

08.08.2014, 15:26

Konvergenzradius23

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Konvergenzradius r=unendlich
Das freut smile

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