Gruppe der Ordnung 12 ist nicht einfach

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08.08.2014, 16:58	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe der Ordnung 12 ist nicht einfach Aufgabe Sei $\begin{eqnarray} \|G\|=12=2^2 \cdot 3 \end{eqnarray}$ . Folgern sie, dass $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ nicht einfach ist. Meine Ideen Die Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist einfach, falls nur $\begin{eqnarray} \{e\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ Normalteiler sind. Der Hinweis ist, dass man mit dem Satz von Sylow argumentieren soll. Es gilt zum einen dann: $\begin{eqnarray} S_3(G) \in \{1,4\}, S_2(G) \in \{ 1,3 \}. \ S_p(G) \end{eqnarray}$ . beschreibt die Anzahl der p Sylow Untergruppen. Angenommen, dass $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ einfach ist, dann müsste es 4 3-Sylow-Untergruppen und 3 2-Sylow-Untergruppen geben. Ich komme einfach auf keinen guten Ansatz um es entweder direkt oder indirekt zu zeigen. Hoffe mir kann jemand einen Tipp geben. Danke und Gruß
08.08.2014, 17:03	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die verschiedenen 3-Sylowgruppen haben trivialen Schnitt. Folgere daraus einen Widerspruch
08.08.2014, 21:59	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
die 3-Sylow-Untergruppen haben trivalen Schnitt weil sie die Ordnung 3 haben. Jedoch müssten diese dann ja vereinigt ganz G geben. Dann müsste aber eine der 2-Sylow-Untergruppe(n) ein Element der Ordnung 3 enthalten und das geht nicht, weil diese nur Elemente der Ordnung 1,2 und 4 enthalten. Also kann es keine 4 3-Sylow-Gruppen und somit gibt es nur genau eine geben. Das ist dann äquivalent dazu, dass diese 3-Sylow-Untergruppe ein Normalteiler ist und somit haben wir einen Normalteiler gefunden, welche weder trivial noch die ganze Gruppe ist. Ist das so richtig argumentiert? (sorry, für die späte Reaktion)
08.08.2014, 22:06	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider passt das noch nicht ganz, aber der Gedanke ist richtig. Trivialer Schnitt heißt ja nicht leerer Schnitt, sondern, dass im Schnitt ein Element enthalten ist. Die Vereinigung der 3-Sylowgruppen hat also 4*2+1=9 Elemente. Du kannst dir aber jetzt nochmal ein ähnliches Argument (leicht abgewandelt) für die 2-Sylowgruppen anschauen, mit dem du die Gruppe dann zum Platzen bringen kannst
08.08.2014, 22:17	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man, das mit dem neutralen Element habe ich gerade übersehen. mist :/ Das heißt aber, ich habe 8 Elemente die Ordnung 3 haben (nach Annahme, dass es 4 3-Sylow-UG gibt). Es bleiben, dann noch 4 Elemente übrig die die 2-Slyow-Gruppe bilden können. Nur mehr kann es nicht geben, d.h. es kann nur eine 2-Sylow-UG geben. Diese wäre dann eben unser nicht trivialer Normalteiler. Noch ein Frage: Eine 3-Sylow-UG und eine 2-Sylow-UG spannen ja als produkt immer ganz G auf. Insb. ist dann ja auch PQ=QP. Kann man hieraus folgern, weil ja auch beide abelsch sind, dass die ganze Gruppe abelsch ist und isomorph zu Z/3Z x Z/4Z ist?
08.08.2014, 22:28	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Supi Zu deiner anderen Frage: Nein, das kann man nicht folgern, das Produkt ist nur dann direkt, wenn beide ein Normalteiler sind. Ein Gegenbeispiel wäre die A4. Insbesondere hättest du auch bei einem direkten Produkt noch die Möglichkeit Z/3Z x V4. Hier noch eine alternative Möglichkeit für solche Aufgaben, die man jetzt hier nicht braucht, die aber sehr schlagkräftig ist: Angenommen, G wäre einfach. Dann hat G genau 3 2-Sylowgruppen. Die Operation von G auf der Menge der 3-Sylowgruppen vermöge Konjugation induziert einen Homomorphismus $\begin{eqnarray} G\to S_3 \end{eqnarray}$ . (Kurze Erklärung: Sind P_1, P_2, P_3, die 2-Sylowgruppen, so wird P_i unter Konjugation mit $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ auf P_j abgebildet. Diese Zuordnung i -> j für 1,2,3 ist ein Element der S_3). Da \|S_3\| < \|G\| ist hat dieser Homomorphismus nichttrivialen Kern. D.h. aber der Kern ist alles und das heißt, dass jede 2-Sylowgruppe unter Konjugation fest ist. Dann sind sie aber alle Normalteiler, ein Widerspruch. Die andere Möglichkeit, die eintreten kann (kern trivial) ist auch gut zu gebrauchen. Dann ist G isomorph zu einer Untergruppe der (in diesem Fall) S_3 und das gibt oftmals Widersprüche zum Satz von Lagrange.
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08.08.2014, 22:34	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank für deine Antwort und hilfe. Werde mir deinen Tipp noch genau anschauen, hilft mir dann vielleicht auch bei anderen Aufgabentypen Gruß
14.08.2014, 15:35	Ryuk321	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mal eine Frage. Im vorletzten Post steht "...das heißt der Kern ist alles...". Wie kommt man denn darauf? Wäre denn nicht auch etwas andes denkbar? (Bspweise Ordnung 2,4,6?)
14.08.2014, 18:05	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Annahme war, dass die Gruppe einfach ist. D.h. es gibt nur die Normalteiler {1} und G. Und weil der Kern eines Gruppenhomomorphismus immer ein Normalteiler ist, kann dieser auch nur {1} oder G sein.

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