Stetigkeit einer Abhängigen mit einer Variablen

09.08.2014, 12:57

lorem_ipsum

Stetigkeit einer Abhängigen mit einer Variablen

Hey Community,

Ich hab folgende Aufgabe
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und soll $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ so bestimmten, das die Funktion stetig im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Mein Ansatz:

1) Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ betimmen: $\begin{eqnarray*} f(0) = \lambda -1 + 0 = \lambda -1 \end{eqnarray*}$

2) linksseitger Grezwert: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow 0^-}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\lambda - 1 + x} = \lambda - 1 \end{eqnarray*}$

3) rechtsseitiger Grenzwert: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow 0^+}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\frac{sin(\lambda * x)}{ x}} = \lim\limits_{x \rightarrow 0}{(\lambda * \frac{sin(\lambda * x)}{\lambda * x})} = \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\lambda} * \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\frac{sin(\lambda * x)}{\lambda * x}} \end{eqnarray*}$

Mit Substitution: $\begin{eqnarray*} \lambda * x = z \end{eqnarray*}$ und Satz 6.10 $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow 0}{\frac{sin(z)}{z} = 1} \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow 0^+}{f(x)} = \lambda \end{eqnarray*}$

links und rechtsseitiger Grenzwert passen nicht überein, für kein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \lambda > \lambda - 1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Fragen:
1) Muss ich für $\begin{eqnarray*} f_1 (x) = \lambda -1 + x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 (x) = \frac{sin(\lambda * x)}{ x} \end{eqnarray*}$ zuerst zeigen das die beiden stetig sind bevor ich die wie oben benutzen kann?

2) Ist alles ok mit den Angaben beim limes ? Das ich von $\begin{eqnarray*} x \rightarrow 0^- \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} x \rightarrow 0^+ \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ geändert habe, oder sollte ich durchgehen $\begin{eqnarray*} 0^- \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} 0^+ \end{eqnarray*}$ behalten?

4) Ist die Substitution so legitim?

3) Ganz wichtig, was hab ich falsch gemacht? Ich komme oben ja zum Schluss das die Funktion nicht stetig ist, für kein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , aber die Fragestellung sagt ja schon das es ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ geben muss so das die Funktion stetig ist.

Wink

09.08.2014, 14:10

Mulder

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RE: Stetigkeit einer Abhängigen mit einer Variablen
Soweit ich es sehe, ist das bei dir alles wohl in Ordnung, auch formal.

Höchstens würde ich bei Grenzwerten von Summen noch Klammern setzen, also statt $\begin{align*} \lim_{x \to 0} \lambda-1+x \end{align*}$ eher $\begin{align*} \lim_{x \to 0} (\lambda-1+x) \end{align*}$ schreiben.

Zitat:

Original von lorem_ipsum
1) Muss ich für $\begin{eqnarray*} f_1 (x) = \lambda -1 + x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 (x) = \frac{sin(\lambda * x)}{ x} \end{eqnarray*}$ zuerst zeigen das die beiden stetig sind bevor ich die wie oben benutzen kann?

Selbst zeigen müsstest du das nur, wenn ihr das noch nicht in der Vorlesung gemacht habt. Das musst du selber nachschlagen. Aber es ist stark anzunehmen, dass du es nicht musst und dass ihr alle hierfür erforderlichen Resultate zur Stetigkeit bereits behandelt habt.

Zitat:

Original von lorem_ipsum
2) Ist alles ok mit den Angaben beim limes ?

Du kannst auch bei $\begin{align*} 0^+ \end{align*}$ , bzw. $\begin{align*} 0^- \end{align*}$ bleiben, aber der Übergang zu $\begin{align*} 0 \end{align*}$ ist prinzipiell auch in Ordnung, weil die besagten Funktionen ja ohnehin stetig sind und daher links- und rechtsseitiger Grenzwert eh übereinstimmen. Bzw. das Sinusteil ist ja stetig fortsetzbar, dieser Grenzwert existiert also ebenfalls.

Zitat:

Original von lorem_ipsum
3) Ganz wichtig, was hab ich falsch gemacht?

Nix. Gibt halt kein passendes $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ . Ich kenne jetzt den exakten Wortlaut der Fragestellung nicht, aber vielleicht war's ja eine kleine Fangfrage.

09.08.2014, 14:40

lorem_ipsum

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja Stetigkeit von Geraden, trigometrischen Funktionen, etc hatten wir schon alles in der Vorlesung, wäre irgerndwie auch zu viel Aufwand in der Klausur nochmal für jede zu zeigen das sie stetig ist. Das mit den Klammern bei lim mach ich auch noch, nicht das jemand noch meint es wäre nicht klar was genau gemeint ist und deshalb Punkte abzieht Lehrer

Sicherheitshalber nochmal die Aufgabe hier 1:1, das ich auch nichts wichtiges weggelassen haben. Ansonsten muss ich mich wohl damit abfinden, dass da jemand vielleicht unachtsam war oder mich in die Irre leiten wollte. Hauptsache, Ich komm aufs richtige Ergebnis.

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Ich benutze dan sicherheitshalber lieber doch $\begin{eqnarray*} 0^+ \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} 0^- \end{eqnarray*}$ da das auch vollkommen in Ordnung geht und nicht das noch bemängelt wird ich hätte keine Begründung dazu geschrieben warum ich einfach $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ schreiben kann. Also so dan z.B.:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow 0^-}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 0^-}{\lambda - 1 + x} = \lambda - 1 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank! smile

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