Anzahl Möglichkeiten: Verteilung von 20 Äpfeln auf 4 Körbe

10.08.2014, 13:55	yellowsubmarine	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Möglichkeiten: Verteilung von 20 Äpfeln auf 4 Körbe Meine Frage: Hallo, ich sitze an folgender Aufgabe: - Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwanzig gleiche Äpfel auf vier unterschiedliche Körbe zu verteilen. Es sollen bei jeder Möglichkeit alle Äpfel verteilt werden. - Meine Ideen: Ich wusste erst einmal keinen Rechenansatz, also habe ich das ganze mal versucht auf weniger Körbe mit weniger Äpfeln zu vereinfachen, um Möglichkeiten abzählen zu können. Also Beispielsweise für 2 Körbe und 2 Äpfel: Möglichkeiten: (1) Korb 1: 1 Apfel; Korb 2: 1 Apfel (2) Korb 1: 0 Äpfel; Korb 2: 2 Äpfel (3) Korb 1: 2 Äpfel; Korb 2: 0 Äpfel Ich hab dann also einige Fälle durchgezählt und bin auf diese Werte (Tabelle) gekommen: a = Anzahl der Äpfel b = Anzahl der Körbe $\begin{eqnarray} <br /> \begin{tabular}{c\|ccccccc}<br /> $a \downarrow b \rightarrow$ &1&2&3&4&5&6&$\cdots$ \\<br /> \hline<br /> 1&1&2&3&4&5&6& $\cdots$ \\<br /> 2&1&3&6&10&15&21& $\cdots$ \\<br /> 3&1&4&10&20&35&56& $\cdots$ \\<br /> 4&1&5&15&35&70&126& $\cdots$ \\<br /> 5&1&6&21&56&126&252& $\cdots$ \\<br /> 6&1&7&28&84&210&462& $\cdots$ \\<br /> $\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\ddots$ \\<br /> \end{tabular}<br /> \end{eqnarray}$ Hab bei den Werten dann festgestellt, dass für 2 Äpfel die Werte für eine zunehmende Anzahl an Körben die Folge der Dreieckszahlen sind. Für 3 Äpfel sind es die Tetraederzahlen, für 4 Äpfel die Pentatopzahlen, für a Äpfel die entsprechende Zahlenfolge eines a-Simplex. Der Wert für 20 Äpfel und vier Körbe müsste dann entsprechend in der Zahlenfolge für einen 20-Simplex an der Stelle 4 zu finden sein. Das ganze könnte man dann ausrechnen: $\begin{eqnarray} <br /> S_{20}(4)=\frac{4\left(4+1\right)\cdots\left(4+20-1\right)}{20!} = \prod_{i=1}^{20}\frac{4-1+i}{i}= 1771<br /> \end{eqnarray}$ Meine Frage hierzu: Kommt das hin oder habe ich irgendwo einen Denkfehler / Rechenfehler drin? Bin nicht gerade ein Experte auf dem Gebiet und weiß daher nicht, ob das so alles Sinn macht, oder, ob es da evtl. einfachere Rechenwege / Ansätze o. ä. gibt. Die Formeln und Informationen zu den Zahlenfolgen habe ich hierher: http://en.wikipedia.org/wiki/Figurate_number#Triangular_numbers
10.08.2014, 15:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Werte sind soweit richtig. Die Situation hier ist in der Kombinatorik bekannt als Kombinationen mit Zurücklegen (bzw. auch mit Wiederholung genannt) . Aus $\begin{align} n=4 \end{align}$ Körben wird $\begin{align} k=20 \end{align}$ -mal gewählt. Die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten ist dann $\begin{align} \binom{n+k-1}{k} = \binom{23}{20} = \binom{23}{3} = \frac{23\cdot 22\cdot 21}{3!} = 1771 \end{align}$ .

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