Picard-Lindelöf-Iteration

10.08.2014, 15:46	Yvonne94	Auf diesen Beitrag antworten »
Picard-Lindelöf-Iteration Meine Frage: Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} ^{'} = \begin{pmatrix} -t & t^2 \\ 2 & t \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x(0) = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y(0)= -1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe die erste Iteration natürlich lösen können: $\begin{eqnarray} \gamma _{0} (t) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ weiter: $\begin{eqnarray} \gamma _{1} (t) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} + \int_0^t \! \begin{pmatrix} -1 & -1^2\\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -t & t\\ 2t & t \\ \end{pmatrix} \, dt \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig?!!!! Vielen Dank im Vorraus! Lg Yvonne
10.08.2014, 17:23	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \gamma_0(t) \end{eqnarray}$ stimmt, $\begin{eqnarray} \gamma_1(t) \end{eqnarray}$ nicht. Die zweite Zeile bei der Berechnung von $\begin{eqnarray} \gamma_1(t) \end{eqnarray}$ ergibt auch überhaupt keinen Sinn mehr. Für das AWP $\begin{eqnarray} \gamma' = f(t,\gamma) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \gamma(0)=\gamma_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \gamma = (x,y)^T\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ funktioniert Picard-Iteration allgemein so: $\begin{eqnarray} \gamma_{n+1}(t) = \gamma_0 + \int\limits_0^t f(s,\gamma_{n}(s)) \dd s. \end{eqnarray}$ In dem Fall ist $\begin{eqnarray} f(s,\gamma) = A(s)\gamma \end{eqnarray}$ mit der $\begin{eqnarray} 2\times 2 \end{eqnarray}$ -Matrix $\begin{eqnarray} A(s) \end{eqnarray}$ aus der Aufgabenstellung. Demzufolge ist $\begin{eqnarray} \gamma_1(t) = \gamma_0 + \int\limits_0^t A(s)\gamma_0(s) \dd s. \end{eqnarray}$ Setze jetzt den Anfangswert $\begin{eqnarray} \gamma_0 \end{eqnarray}$ und die erste Picard-Iterierte $\begin{eqnarray} \gamma_0(s) \end{eqnarray}$ ein, berechne das Matrix-Vektor-Produkt und integriere den sich ergebenden Vektor. Das Ergebnis ist die Summe zweier Vektoren und nicht etwa die Summe aus einer Matrix und einem Vektor wie du sie erhalten hast.

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