E-Ableiten mit Quotientenregel

10.08.2014, 17:58

concomet

E-Ableiten mit Quotientenregel

Hallo,

ich scheitere momentan an der zweiten Ableitung einer e-Funktion.
Die erste Ableitung ist richtig:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{e^{x}(x-1) }{x^2} \end{eqnarray*}$

Nun soll bei der zweiten Ableitung folgendes rauskommen:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{e^{x}(x^2+2) }{x^3} \end{eqnarray*}$
Ich würde wie folgt an die Aufgabe herangehen:

$\begin{eqnarray*} u=e^{x}(x-1) u'= [Produktregel] e^{x}*x v= x^{2} v'=2x \end{eqnarray*}$

Nun nach der Quotientenregel zusammensetzen
$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{x}*x)x^{2} - e^{x}(x-1)*2x }{x^{4}} \end{eqnarray*}$
Bis hier hin, sollte hoffentlich alles richtig sein.

Bei der Termumfromung hab ich jedoch Probleme traurig

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}(x+x^{2}-2x^{2}-2x) }{x^{4}} ! \end{eqnarray*}$

Kann mir hier jemand helfen?

PS: Ich glaube die Lösung aus dem Skript ist nicht korrekt. Wolphram-Alpha gibt dafür eine andere Lösung an.

Danhke

10.08.2014, 18:12

Mi_cha

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zunächst: die angegebene zweite Ableitung ist falsch.

Bis zur Quotientenregel ist alles richtig.
Bevor du weiterrechnest, solltest du ein x kürzen, die 2 in die Klammer multiplizieren und anschließend $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

10.08.2014, 18:32

concomet

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Ok, danke. Also ich versuchs mal Schritt für Schritt
$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{x}*x)x^{2} - e^{x}(x-1)*2x }{x^{4}} \end{eqnarray*}$

Ein x kürzen
$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{x}*x)x - e^{x}(x-1)*2x }{x^{3}} \end{eqnarray*}$

Die 2 reinmultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}(x+x-2x^{2}-2x) }{x^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}(2x-2x^{2}-2x) }{x^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}(-2x^{2}) }{x^{3}}! \end{eqnarray*}$

Sieht auch nicht gut aus. Was hab ich falsch gemacht? unglücklich

10.08.2014, 18:41

Mi_cha

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beim Kürzen ist was schief gelaufen. Du kürzt aus einer Summe. Dabei muss man aus jedem Summanden das entsprechende kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}*x^{2} - e^{x}(x-1)*2 }{x^{3}} \end{eqnarray*}$

Wenn du dann $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ausklammerst, sollten nur 3 Summanden in der Klammer übrig sein.

Probiers mal ab hier.

10.08.2014, 19:28

concomet

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Alles klar. Ich würd dann noch einen zwischenschritt machen:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}*x^{3} - e^{x}(2x^{2}-2x)}{x^{4}} \frac{e^{x}(x^{3}-2x^{2}+2x)}{x^{4}} \frac{x* e^{x}(x^{2}-2x+2)}{x^{4}} \end{eqnarray*}$
Dann das x kürzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}(x^{2}-2x+2)}{x^{3}} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für den Tipp.
Aus der Summe nur der Dumme Hammer

10.08.2014, 19:31

Mi_cha

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So sieht´s doch gut aus Freude

10.08.2014, 21:06

concomet

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Ich häng mal noch eine dran (hoffe das ist ok)

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{-e^{-x}(x+2)}{(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = -e^{-x}(x+2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u' = e^{x}(x+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = (x+1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = 2x+2 \end{eqnarray*}$

Zusammengesetzt:
$\begin{eqnarray*} f''(x) \frac{e^{-x}(x+1)(x+1)^{2}-(-e^{-x}(x+2)*(2x+2))}{(x+1)^{4}} \end{eqnarray*}$
Soweit richtig? verwirrt

11.08.2014, 08:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von concomet
$\begin{eqnarray*} u' = e^{x}(x+1) \end{eqnarray*}$

Richtig ist $\begin{eqnarray*} u' = e^{-x}(x+1) \end{eqnarray*}$ . Die 2. Ableitung stimmt aber. Wenn du noch 2x+2 = 2(x+1) schreibst, läßt sich noch ein Faktor (x+1) rauskürzen. smile

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