Reelle Lösung eines DGL-Systems bei komplexen Eigenwerten

10.08.2014, 22:11

macman2010

Reelle Lösung eines DGL-Systems bei komplexen Eigenwerten

Hi,

eigentlich ist meine Frage ganz kurz.
Bei kojugiert Komplexen eigenwerten, ist doch neben der Komplexen Allgemeinen lösung auch noch ein Reale Lösung durch Auftrennung in Real und imaginärteil möglich.

Meine Fragen:

Diese Reale lösung, existiert doch nur, wenn man konjugiert komplexe Eigenwerte hat.
hätte man z.b. (das wähle ich jetzt Willkürlich) 3 und -1+i, wäre keine Reale lösung der DGL möglich?

Ist das Richtig?

10.08.2014, 23:21

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Nein das ist nicht richtig

Du bekommst als Lösung das Fundamentalsystem
und da sind schon reale Funktionen dabei

11.08.2014, 00:39

Che Netzer

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RE: Reale Lösunge eines DGL Systems bei komplexen Eigenwerten

Zitat:

Original von macman2010
hätte man z.b. (das wähle ich jetzt Willkürlich) 3 und -1+i, wäre keine Reale lösung der DGL möglich?

Ist das Richtig?

Ja. Noch einfacher hat $\begin{eqnarray*} x'=ix \end{eqnarray*}$ keine reelle Lösung (außer der Nullfunktion).
Sind aber alle auftretenden Koeffizienten reell – ist also $\begin{eqnarray*} x'=Ax \end{eqnarray*}$ mit einer rellen Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gegeben –, treten die besagten Eigenwerte sowieso immer in konjugiert komplexen Paaren auf.

Und es heißt übrigens "reell", nicht "real". Und das wird kleingeschrieben. [natürlich gilt beides nicht für "Real- und Imaginärteil"]

Edit: Ich bin übrigens mal davon ausgegangen, dass hier von homogenen linearen DGLs/DGL-Systemen mit konstanten Koeffizienten die Rede ist.

11.08.2014, 11:35

macman2010

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Ja die lösung von der gleichung x'=ix müsste x=e^(ix) sein...

Also stimmt es, dass eine Rein reele Lösung eines DGL Systems (Homogen mit konstanten Koeffizienten) nur möglich ist, wenn die Eigenwerte konjugiert komplex sind. Also hätte eine komplexe Koeffizientenmatrix mit den Eigenwerten 3 und 1+1i keine reele Lösung?

ist die Antwort von xb dann falsch ??

11.08.2014, 16:58

Che Netzer

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Und ich wollte schon im voraus anmerken, dass es auch nicht "reel" heißt, wollte aber lieber nicht noch ein falsches Wort nennen...

Zitat:

Ja die lösung von der gleichung x'=ix müsste x=e^(ix) sein...

Wobei das Argument natürlich unpraktisch benannt ist. Und eine Konstante vor der Exponentialfunktion wäre auch gut.

Zitat:

Also hätte eine komplexe Koeffizientenmatrix mit den Eigenwerten 3 und 1+1i keine reele Lösung?

Matrizen haben ohnehin keine "Lösungen".
Du meinst wohl Lösungen von $\begin{eqnarray*} x'=Ax \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die genannten Eigenwerte hat. Falls es dann keine weiteren Eigenwerte gibt, gibt es tatsächlich komplexe Lösungen, deren Real- und Imaginärteile keine Lösungen mehr sind. Lösungen, die "zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ gehören", sind aber womöglich immer noch reell.

Edit: Ach ja, und die Nulllösung ist natürlich immer eine reelle Lösung.

11.08.2014, 17:15

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Zitat:

Original von macman2010

ist die Antwort von xb dann falsch ??

Also ich kann mal meine Antwort erklären

zu deinen am Anfang genannten Eigenwerten 3 und -1+i

passt zB folgendes Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} a'=(-1+i)a+(4-i)b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b'=3b \end{eqnarray*}$

mit der Lösung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=C_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}e^{3x} +C_{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{(-1+i)x} \end{eqnarray*}$

wenn man jetzt C2 Null setzt hat man eine reelle Lösung (wenn C1=reell)

Ich wollte damit sagen, dass man bei deinen Eigenwerten eine reelle Lösung nicht ausschließen kann

Bei einem anderen Gleichungssystem könnte das herauskommen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=C_{1} \begin{pmatrix} 1-i \\ 1 \end{pmatrix}e^{3x} +C_{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{(-1+i)x} \end{eqnarray*}$

Da gäbe es dann keine reelle Lösung

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